Fazer o indicado em cada item: (a) O valor do
é:
i.
ii.
iii.
iv.
i.
ii.
iii.
iv.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular o limite quando
vai para o infinito da soma
. Isso envolve conceitos de séries e limites em matemática, então vamos precisar entender como somar termos que dependem de
e depois analisar o que acontece quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a soma em duas partes para facilitar:
Assim, temos duas somas para calcular separadamente.
Passo 3
Vamos calcular a primeira soma:
. Sabe como a soma dos primeiros
números naturais é dada por:
Então, substituindo na nossa expressão:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda soma:
. A soma dos quadrados dos primeiros
números é:
Substituindo na expressão:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo por
e observando o comportamento quando
cresce muito.
Passo 6
Dividindo cada termo por
:
Passo 7
Agora, substituindo de volta na soma original:
Quando
tende ao infinito,
vai para zero.
Resposta
O valor do limite é
. Resposta iii.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é o segmento de reta de
a
.
Apresente uma parametrização diferenciável para a curva
em
, interseção das superfícies dadas por:
e
Apresente uma parametrização diferenciável para a curva
em
, interseção das superfícies dadas por:
e
,
situada no primeiro octante.
situada no primeiro octante.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.