Fazer o indicado em cada item: (a) O valor do lim n infty sumk=1^n(kn^2-k^2n^3) é:
i. 23
ii. 12
iii. 16
iv. 112

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular o limite quando vai para o infinito da soma . Isso envolve conceitos de séries e limites em matemática, então vamos precisar entender como somar termos que dependem de e depois analisar o que acontece quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma em duas partes para facilitar:
sumk=1^n(kn^2 - k^2n^3) = sumk=1^nkn^2 - sumk=1^nk^2n^3
Assim, temos duas somas para calcular separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a primeira soma: sumk=1^nk = n(n+1)2 . Sabe como a soma dos primeiros sumk=1^nkn^2 = 1n^2 cdot n(n+1)2 = n+12n números naturais é dada por:
Então, substituindo na nossa expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda soma: sumk=1^nk^2 = n(n+1)(2n+1)6 . A soma dos quadrados dos primeiros sumk=1^nk^2n^3 = 1n^3 cdot n(n+1)(2n+1)6 = (n+1)(2n+1)6n^2 números é:
Substituindo na expressão:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
sumk=1^n(kn^2 - k^2n^3) = n+12n - (n+1)(2n+1)6n^2
Vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo por e observando o comportamento quando cresce muito.

Passo 6

Dividindo cada termo por n+12n = n2n + 12n = 12 + 12n :
(n+1)(2n+1)6n^2 = 2n^2 + 3n + 16n^2 = 2n^26n^2 + 3n6n^2 + 16n^2 = 13 + 12n + 16n^2

Passo 7

Agora, substituindo de volta na soma original:
12 + 12n - (13 + 12n + 16n^2) = 12 - 13 - 16n^2 = 16 - 16n^2
Quando tende ao infinito, vai para zero.

Resposta

O valor do limite é . Resposta iii.

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