Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar o gráfico da função e descobrir em quais pontos essa função é contínua. A função está definida por duas partes diferentes:
  • Quando , .
  • Quando , .
Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre gráficos de funções por partes e entender o conceito de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas partes da função:
  1. Para :
    • .
    • Isso significa que para valores de entre -1 e 1, a função é uma hipérbole que nunca toca o eixo e tem uma assíntota em (porque é indefinido).
  2. Para :
    • .
    • Aqui, a função é constante e igual a 2 para valores de menores que -1 e maiores que 1.

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico:
  • Para :
    • Quando e , .
    • Conforme se aproxima de 0, cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.
  • Para :
    • A função é uma linha reta horizontal no valor .
Então, o gráfico terá duas partes:
  • Uma hipérbole entre -1 e 1 que se aproxima do infinito perto de .
  • Duas linhas horizontais em para e .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “buracos” no gráfico nesse ponto. Precisamos verificar onde isso ocorre:
  1. Dentro de :
    • A função é contínua, exceto em (onde não está definida).
  2. Para :
    • A função é constante e, portanto, contínua em todo esse intervalo.
  3. Nos pontos de transição e :
    • Precisamos ver se os valores se conectam sem saltos.
    • Quando se aproxima de 1 pela esquerda, tende a 1.
    • Para , .
    • Como 1 ≠ 2, há um salto em .
    • O mesmo vale para .

Resposta

O gráfico da função consiste em uma hipérbole entre e com assíntota em , e duas linhas horizontais em para e . A função é contínua em todos os pontos exceto em , e .

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Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n mero apropriado de constantes arbitrárias:
(a)
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem:
Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:
e
Calcule , onde
e é o segmento de reta de a .