Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar o gráfico da função
e descobrir em quais pontos essa função é contínua. A função está definida por duas partes diferentes:
- Quando
, . - Quando
, .
Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre gráficos de funções por partes e entender o conceito de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas partes da função:
-
Para
: -
. - Isso significa que para valores de
entre -1 e 1, a função é uma hipérbole que nunca toca o eixo e tem uma assíntota em (porque é indefinido).
-
-
Para
: -
. - Aqui, a função é constante e igual a 2 para valores de
menores que -1 e maiores que 1.
-
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico:
-
Para
: - Quando
e , . - Conforme
se aproxima de 0, cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.
- Quando
-
Para
: - A função é uma linha reta horizontal no valor
.
- A função é uma linha reta horizontal no valor
Então, o gráfico terá duas partes:
- Uma hipérbole entre -1 e 1 que se aproxima do infinito perto de
. - Duas linhas horizontais em
para e .
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “buracos” no gráfico nesse ponto. Precisamos verificar onde isso ocorre:
-
Dentro de
: - A função
é contínua, exceto em (onde não está definida).
- A função
-
Para
: - A função é constante e, portanto, contínua em todo esse intervalo.
-
Nos pontos de transição
e : - Precisamos ver se os valores se conectam sem saltos.
- Quando
se aproxima de 1 pela esquerda, tende a 1. - Para
, . - Como 1 ≠ 2, há um salto em
. - O mesmo vale para
.
Resposta
O gráfico da função
consiste em uma hipérbole entre
e
com assíntota em
, e duas linhas horizontais em
para
e
. A função
é contínua em todos os pontos exceto em
,
e
.
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Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n
mero apropriado de constantes arbitrárias:
(a)
(a)
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem:
Apresente uma parametrização diferenciável para a curva
em
, interseção das superfícies dadas por:
e
Calcule
, onde
e
é o segmento de reta de
a
.