Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n
mero apropriado de constantes arbitrárias:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método da eliminação. A matéria que estamos lidando aqui é de Equações Diferenciais, mais precisamente sistemas lineares de equações diferenciais de ordem superior. Para resolver, vamos precisar eliminar uma das variáveis para encontrar uma equação que envolva apenas uma delas e, assim, facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas duas equações que temos:
Vamos chamar a segunda equação de
. Nosso objetivo é eliminar
para conseguir uma equação somente em
.
Passo 3
Observando as duas equações, percebemos que
aparece nas duas. Vamos subtrair a segunda equação (
) da primeira (
) para eliminar esses termos:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam, assim como
e
, restando:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem somente em
:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
Passo 6
Com a raiz dupla
, a solução geral para
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora que temos
, vamos utilizar a segunda equação original (
) para encontrar
:
Primeiro, calculemos
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
O que resulta em:
Passo 8
Vamos resolver a equação para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, usamos o fator integrante
.
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante de integração. Dividindo por
:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.
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Calcule
, onde
e
é a semicircunferência
, com
.
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em
, interseção das superfícies dadas por:
e