Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:
e

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar uma parametrização diferenciável para a curva no espaço tridimensional . Essa curva é a interseção de duas superfícies:
  1. O cilindro dado por
  2. A esfera com a condição
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e álgebra vetorial, além de um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
  • A equação representa um cilindro circular com raio 1, centrado em no plano , que se estende ao longo do eixo .
  • A equação representa uma esfera com raio 2, centrada na origem.
Queremos encontrar os pontos que estão em ambas as superfícies ao mesmo tempo, ou seja, a interseção entre o cilindro e a esfera.

Passo 3

Vamos começar parametrizando o cilindro. Como o cilindro é circular e centrado em , podemos usar um parâmetro angular que varia de a . Assim, as coordenadas e podem ser expressas como:
Aqui, usamos e para garantir que seja satisfeito para qualquer .

Passo 4

Agora que temos e em termos de , vamos substituir esses valores na equação da esfera para encontrar :
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Sabemos que , então:

Passo 6

Isolando :
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Como , descartamos a solução negativa:
Podemos simplificar isso usando uma identidade trigonométrica:

Passo 7

Agora, temos todas as coordenadas em termos de :
Essa é a parametrização diferenciável para a curva , onde varia de a .

Resposta

Uma parametrização diferenciável para a curva é dada por:
onde varia de a .

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