Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por: e
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar uma parametrização diferenciável para a curva no espaço tridimensional . Essa curva é a interseção de duas superfícies:
O cilindro dado por
A esfera com a condição
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e álgebra vetorial, além de um pouco de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
A equação representa um cilindro circular com raio 1, centrado em no plano , que se estende ao longo do eixo .
A equação representa uma esfera com raio 2, centrada na origem.
Queremos encontrar os pontos que estão em ambas as superfícies ao mesmo tempo, ou seja, a interseção entre o cilindro e a esfera.
Passo 3
Vamos começar parametrizando o cilindro. Como o cilindro é circular e centrado em , podemos usar um parâmetro angular que varia de a . Assim, as coordenadas e podem ser expressas como:
Aqui, usamos e para garantir que seja satisfeito para qualquer .
Passo 4
Agora que temos e em termos de , vamos substituir esses valores na equação da esfera para encontrar :
Substituindo e :
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Sabemos que , então:
Passo 6
Isolando :
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Como , descartamos a solução negativa:
Podemos simplificar isso usando uma identidade trigonométrica:
Passo 7
Agora, temos todas as coordenadas em termos de :
Essa é a parametrização diferenciável para a curva , onde varia de a .
Resposta
Uma parametrização diferenciável para a curva é dada por: