Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita: . O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma ferramenta chave em séries infinitas.

Passo 2

Uma série geométrica é da forma , onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão comum entre os termos.
A característica principal de uma série geométrica é que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por .

Passo 3

Vamos comparar a nossa série com a forma de uma série geométrica. Na nossa série, podemos reescrever os termos da seguinte maneira:
Assim, identificamos:

Passo 4

Agora, para saber se a série geométrica converge, observamos o valor de :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Vamos calcular :
Como , temos que .

Passo 5

Como , pela propriedade das séries geométricas, a série
não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:
e
Calcule , onde
e é a semicircunferência , com .
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem: