Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita: . O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma ferramenta chave em séries infinitas.
Passo 2
Uma série geométrica é da forma , onde:
é o primeiro termo da série,
é a razão comum entre os termos.
A característica principal de uma série geométrica é que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por .
Passo 3
Vamos comparar a nossa série com a forma de uma série geométrica. Na nossa série, podemos reescrever os termos da seguinte maneira:
Assim, identificamos:
Passo 4
Agora, para saber se a série geométrica converge, observamos o valor de :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Vamos calcular :
Como , temos que .
Passo 5
Como , pela propriedade das séries geométricas, a série