Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty 1(ln 2)^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita: sumn=1^infty 1(ln 2)^n. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma ferramenta chave em séries infinitas.

Passo 2

Uma série geométrica é da forma sumn=0^infty ar^n, onde:
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão comum entre os termos.
A característica principal de uma série geométrica é que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por r.

Passo 3

Vamos comparar a nossa série com a forma de uma série geométrica. Na nossa série, podemos reescrever os termos da seguinte maneira:
1(ln 2)^n = (1ln 2)^n
Assim, identificamos:
  • a = (1ln 2)^1 = 1ln 2
  • r = 1ln 2

Passo 4

Agora, para saber se a série geométrica converge, observamos o valor de |r|:
  • Se |r| < 1, a série converge.
  • Se |r| >= 1, a série diverge.
Vamos calcular |r|:
|1ln 2| approx 10,693 approx 1,4427
Como 1,4427 > 1, temos que |r| > 1.

Passo 5

Como |r| > 1, pela propriedade das séries geométricas, a série
sumn=1^infty 1(ln 2)^n
não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1(ln 2)^n diverge.

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