Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Vamos analisar a série . Essa é uma série geométrica, que é um tipo de série onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior por uma razão fixa. Para resolver, precisamos identificar a razão da série e verificar se ela é menor que 1 em valor absoluto para saber se a série converge. Se convergir, usamos a fórmula da soma da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, identificamos a razão da série. Podemos reescrever como . Assim, a nossa razão é .

Passo 3

Agora, verificamos se a série converge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1. Sabemos que é aproximadamente 0,135, que é menor que 1. Portanto, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular a soma. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa em é:
Substituindo por :

Resposta

A série é convergente e a soma é .

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Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:
e
Esboce o gráfico de . A função é contínua?
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule , onde
e é a semicircunferência , com .