Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty e^-2 n

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty e^-2 n. Essa é uma série geométrica, que é um tipo de série onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior por uma razão fixa. Para resolver, precisamos identificar a razão da série e verificar se ela é menor que 1 em valor absoluto para saber se a série converge. Se convergir, usamos a fórmula da soma da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, identificamos a razão da série. Podemos reescrever e^-2 n como (e^-2)^n. Assim, a nossa razão r é e^-2.

Passo 3

Agora, verificamos se a série converge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1. Sabemos que e^-2 é aproximadamente 0,135, que é menor que 1. Portanto, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular a soma. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa em n=1 é:
S = r1 - r
Substituindo r por e^-2:
S = e^-21 - e^-2

Resposta

A série sumn=1^infty e^-2 n é convergente e a soma é e^-21 - e^-2.

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