Apresente uma parametrização diferenciável para a curva C em R^3, interseção das superfícies dadas por:
x^2 + y^2 = 4 e x^2 + z^2 = 4,
situada no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização diferenciável para a curva no espaço tridimensional ( ). Essa curva é a interseção de duas superfícies dadas pelas equações:
Além disso, a curva está no primeiro octante, o que significa que , e são todos positivos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente sobre como parametrizar curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
  1. : Essa é a equação de um cilindro circular com raio 2, alinhado ao eixo . Isso significa que, para qualquer valor de , o corte com o plano é um círculo de raio 2.
  2. : De forma similar, essa é a equação de outro cilindro circular com raio 2, mas alinhado ao eixo . Para qualquer valor de , o corte com o plano também é um círculo de raio 2.
A interseção desses dois cilindros vai formar uma curva no espaço. Nosso objetivo é parametrizar essa curva, ou seja, expressar , e em termos de um parâmetro, geralmente denotado por .

Passo 3

Vamos tentar relacionar as duas equações para encontrar uma expressão comum. Observando que ambas as equações têm , podemos igualá-las:
Subtraindo de ambos os lados, temos:
Tomando a raiz quadrada, fica claro que:
Então, ao longo da curva de interseção, as coordenadas e são iguais. Isso simplifica nossa parametrização, pois agora precisamos expressar e (ou ) em termos de um parâmetro.

Passo 4

Vamos parametrizar usando um ângulo , que varia de 0 a para manter a curva no primeiro octante. Sabemos que no círculo , podemos parametrizar e usando funções trigonométricas:
Como , também temos:
Assim, a parametrização completa da curva fica:

Resposta

A parametrização diferenciável da curva no primeiro octante é dada por:

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