Apresente uma parametrização diferenciável para a curva
em
, interseção das superfícies dadas por:
e
,
situada no primeiro octante.
situada no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização diferenciável para a curva
no espaço tridimensional (
). Essa curva é a interseção de duas superfícies dadas pelas equações:
Além disso, a curva está no primeiro octante, o que significa que
,
e
são todos positivos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente sobre como parametrizar curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
-
: Essa é a equação de um cilindro circular com raio 2, alinhado ao eixo . Isso significa que, para qualquer valor de , o corte com o plano é um círculo de raio 2. -
: De forma similar, essa é a equação de outro cilindro circular com raio 2, mas alinhado ao eixo . Para qualquer valor de , o corte com o plano também é um círculo de raio 2.
A interseção desses dois cilindros vai formar uma curva no espaço. Nosso objetivo é parametrizar essa curva, ou seja, expressar
,
e
em termos de um parâmetro, geralmente denotado por
.
Passo 3
Vamos tentar relacionar as duas equações para encontrar uma expressão comum. Observando que ambas as equações têm
, podemos igualá-las:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Tomando a raiz quadrada, fica claro que:
Então, ao longo da curva de interseção, as coordenadas
e
são iguais. Isso simplifica nossa parametrização, pois agora precisamos expressar
e
(ou
) em termos de um parâmetro.
Passo 4
Vamos parametrizar usando um ângulo
, que varia de 0 a
para manter a curva no primeiro octante. Sabemos que no círculo
, podemos parametrizar
e
usando funções trigonométricas:
Como
, também temos:
Assim, a parametrização completa da curva
fica:
Resposta
A parametrização diferenciável da curva
no primeiro octante é dada por: