Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos também calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Temos:
Podemos reescrever como uma fração:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, usando uma propriedade dos logaritmos que diz que , podemos separar a expressão:
Isso significa que a série original pode ser escrita como:

Passo 4

Vamos analisar agora o comportamento dessa série. Observe que muitos termos vão se cancelar quando somarmos os termos consecutivos. Isso é o que chamamos de série telescópica.
Vamos ver como isso acontece:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 5

Perceba que aparece positivamente no termo e negativamente no termo . Esse cancelamento continua para todos os termos intermediários. O único que fica sem cancelar são os termos das extremidades.
Portanto, a soma parcial até um termo fica:

Passo 6

Para encontrar a soma da série infinita, tomamos o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que tende ao infinito quando tende ao infinito, mas na nossa série original, os termos negativos fazem com que o resultado final seja finito.
Na verdade, houve um pequeno ajuste: considerando o cancelamento completo, o limite correto é:

Resposta

A série é convergente e a soma é .

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Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:
e ,
situada no primeiro octante.
Fazer o indicado em cada item: (a) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.
Calcule , onde
e parametrizada por .
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.