Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=2^infty ln (1-1n^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos também calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Temos:
ln(1 - 1n^2)
Podemos reescrever 1 - 1n^2 = n^2 - 1n^2 = (n - 1)(n + 1)n^2 como uma fração:
ln((n - 1)(n + 1)n^2)
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, usando uma propriedade dos logaritmos que diz que ln((n - 1)(n + 1)n^2) = ln(n - 1) + ln(n + 1) - 2ln(n) , podemos separar a expressão:
sumn=2^infty [ln(n - 1) + ln(n + 1) - 2ln(n)]
Isso significa que a série original pode ser escrita como:

Passo 4

Vamos analisar agora o comportamento dessa série. Observe que muitos termos vão se cancelar quando somarmos os termos consecutivos. Isso é o que chamamos de série telescópica.
Vamos ver como isso acontece:
  • Para ln(1) + ln(3) - 2ln(2) :
    ln(2) + ln(4) - 2ln(3)
  • Para ln(3) + ln(5) - 2ln(4) :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 5

Perceba que SN = ln(N + 1) - ln(2) aparece positivamente no termo e negativamente no termo . Esse cancelamento continua para todos os termos intermediários. O único que fica sem cancelar são os termos das extremidades.
Portanto, a soma parcial até um termo fica:

Passo 6

Para encontrar a soma da série infinita, tomamos o limite quando limN to infty SN = limN to infty [ln(N + 1) - ln(2)] tende ao infinito:
limN to infty [ln(N + 1) - ln(N)] - ln(2) = 0 - ln(2) = -ln(2)
Sabemos que tende ao infinito quando tende ao infinito, mas na nossa série original, os termos negativos fazem com que o resultado final seja finito.
Na verdade, houve um pequeno ajuste: considerando o cancelamento completo, o limite correto é:

Resposta

A série é convergente e a soma é .

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