Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos também calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Temos:
Podemos reescrever
como uma fração:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, usando uma propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos separar a expressão:
Isso significa que a série original pode ser escrita como:
Passo 4
Vamos analisar agora o comportamento dessa série. Observe que muitos termos vão se cancelar quando somarmos os termos consecutivos. Isso é o que chamamos de série telescópica.
Vamos ver como isso acontece:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
E assim por diante.
Passo 5
Perceba que
aparece positivamente no termo
e negativamente no termo
. Esse cancelamento continua para todos os termos intermediários. O único que fica sem cancelar são os termos das extremidades.
Portanto, a soma parcial até um termo
fica:
Passo 6
Para encontrar a soma da série infinita, tomamos o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende ao infinito quando
tende ao infinito, mas na nossa série original, os termos negativos fazem com que o resultado final seja finito.
Na verdade, houve um pequeno ajuste: considerando o cancelamento completo, o limite correto é:
Resposta
A série é convergente e a soma é
.
Exercícios relacionados
Apresente uma parametrização diferenciável para a curva
em
, interseção das superfícies dadas por:
e
,
situada no primeiro octante.
situada no primeiro octante.
Fazer o indicado em cada item: (a) O valor do
é:
i.
ii.
iii.
iv.
i.
ii.
iii.
iv.
Calcule
, onde
e
parametrizada por
.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.