Calcule integralC f(x, y) d s, onde
f(x, y)=x y e C parametrizada por r(t)=(cos t, sen t), 0 <= t <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC f(x, y) ds, onde a função f(x, y) é igual a xy. A curva C está parametrizada por , com r(t) = (cos t, sen t) variando de t a 0. Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e como calcular integrais de linha usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral de linha integralC f(x, y) ds. Basicamente, estamos somando os valores da função f(x, y) ao longo da curva C, ponderados pela “distância” ao longo da curva, representada por ds.

Passo 3

Como a curva C está parametrizada por , podemos expressar r(t) = (cos t, sen t) e x em termos de y:

Passo 4

Precisamos também calcular ds, que é o elemento de arco da curva. Ele é dado por:
ds = |r,'(t)| dt
Vamos calcular a derivada de r(t):

Passo 5

Agora, calculamos a norma de r,'(t):
Então, |r,'(t)| = raiz(-sen t)^2 + (cos t)^2 = raizsen^2 t + cos^2 t = raiz1 = 1 .

Passo 6

Substituímos x, y e ds na integral:

Passo 7

Para resolver a integral , podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar , então integral cos t sen t , dt.

Passo 8

Com a substituição, a integral fica:
Agora, aplicamos os limites de integral u , du = u^22 + C = sen^2 t2 + C a 0:

Resposta

O valor da integral é 12.

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