Calcule , onde
e parametrizada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde a função é igual a . A curva está parametrizada por , com variando de a . Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e como calcular integrais de linha usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral de linha . Basicamente, estamos somando os valores da função ao longo da curva , ponderados pela “distância” ao longo da curva, representada por .

Passo 3

Como a curva está parametrizada por , podemos expressar e em termos de :

Passo 4

Precisamos também calcular , que é o elemento de arco da curva. Ele é dado por:
Vamos calcular a derivada de :

Passo 5

Agora, calculamos a norma de :
Então, .

Passo 6

Substituímos , e na integral:

Passo 7

Para resolver a integral , podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar , então .

Passo 8

Com a substituição, a integral fica:
Agora, aplicamos os limites de a :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:
e ,
situada no primeiro octante.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.