Apresente o polinômio de Taylor de primeira ordem da função em volta do ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de primeira ordem para a função em torno do ponto . Isso está relacionado ao estudo de aproximações lineares em cálculo multivariável. Para isso, vamos precisar conhecer a função e suas derivadas parciais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Substituindo e na função:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :
Passo 5
Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de primeira ordem, que é basicamente uma aproximação linear da função perto do ponto . A fórmula geral é:
Aqui, e . Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
Então, o polinômio de Taylor de primeira ordem da função em torno do ponto é: