Apresente o polinômio de Taylor de primeira ordem da função f(x, y) = x^3 + y^3 - x^2 + 4y em volta do ponto (x0, y0) = (1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de primeira ordem para a função em torno do ponto . Isso está relacionado ao estudo de aproximações lineares em cálculo multivariável. Para isso, vamos precisar conhecer a função e suas derivadas parciais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Substituindo e na função:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de primeira ordem, que é basicamente uma aproximação linear da função perto do ponto . A fórmula geral é:
Aqui, e . Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

Então, o polinômio de Taylor de primeira ordem da função em torno do ponto é:

Exercícios relacionados