Calcule os seguintes limites: (0.2 Pts) lim (x, y) (1,0) ln (x y+1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função ln(xy + 1) quando (x, y) se aproxima de (1, 0). Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e usar algumas propriedades das funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma função é contínua no ponto que estamos analisando, o limite dela nesse ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. A função logarítmica natural, ln(z), é contínua para todos os z > 0. No nosso caso, a função dentro do logaritmo é xy + 1.

Passo 3

Vamos verificar o que acontece com xy + 1 quando (x, y) se aproxima de (1, 0). Substituindo x por 1 e y por 0, temos:
xy + 1 = (1)(0) + 1 = 0 + 1 = 1
Então, quando (x, y) (1, 0), xy + 1 1.

Passo 4

Agora, aplicamos a função logarítmica nesse limite. Sabemos que ln(1) = 0. Então:
ln(xy + 1) ln(1) = 0
Como a função ln(z) é contínua em z = 1, podemos concluir que o limite da função ln(xy + 1) quando (x, y) (1, 0) é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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