Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
, ao longo da curva
que é a fronteira da região delimitada pela parábola
e pela reta
,
com orientação positiva. (Se resolver sem o Teorema de Green, a questão vale apenas 1 ponto).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa no cálculo de integrais de linha. A questão pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
, que é a fronteira da região delimitada pela parábola
e pela reta
. Vamos precisar identificar os componentes do Teorema de Green e aplicar a fórmula corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
onde
e
são funções das coordenadas
e
, e
é a região delimitada por
.
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
, que está entre a parábola
e a reta
.
Passo 5
Para encontrar os limites de
, resolvemos
, o que dá
e
. Portanto,
varia de
a
. Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla:
Passo 7
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Devido à simetria das funções pares, podemos simplificar multiplicando a integral de
a
por
:
Passo 9
Calculando os limites:
Resposta
A integral de linha vale
.