Use o teorema de Green para calcular a integral de linha integralC[y^2-arctg(x)] d x+[3 x+sen(y)] d y, ao longo da curva C que é a fronteira da região delimitada pela parábola y=x^2 e pela reta y=4,
C com orientação positiva. (Se resolver sem o Teorema de Green, a questão vale apenas 1 ponto).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa no cálculo de integrais de linha. A questão pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva integralC[y^2 - arctan(x)] dx + [3x + sen(y)] dy , que é a fronteira da região delimitada pela parábola e pela reta . Vamos precisar identificar os componentes do Teorema de Green e aplicar a fórmula corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde P = y^2 - arctan(x) e Q = 3x + sen(y) e são funções das coordenadas e , e é a região delimitada por .
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(3x + sen(y)) = 3

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, temos:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD (3 - 2y) ,dA
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região , que está entre a parábola e a reta .

Passo 5

Para encontrar os limites de , resolvemos , o que dá e . Portanto, varia de a . Para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaD (3 - 2y) ,dA = integral-2^2 integralx^2^4 (3 - 2y) ,dy,dx

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em relação a integralx^2^4 (3 - 2y) ,dy = [ 3y - y^2 ]x^2^4 = (3 cdot 4 - 4^2) - (3x^2 - (x^2)^2) = (12 - 16) - (3x^2 - x^4) = -4 - 3x^2 + x^4 :

Passo 8

Agora, integramos em relação a integral-2^2 (-4 - 3x^2 + x^4) ,dx :
2 integral0^2 (-4 - 3x^2 + x^4) ,dx = 2 [ -4x - x^3 + x^55 ]0^2
Devido à simetria das funções pares, podemos simplificar multiplicando a integral de a por :

Passo 9

Calculando os limites:
2 [ -4(2) - (2)^3 + (2)^55 - (0) ] = 2 [ -8 - 8 + 325 ] = 2 [ -16 + 6.4 ] = 2 times (-9.6) = -19.2

Resposta

A integral de linha vale .

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