Apresente um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R^3 : W=(x, y, z) mid x+2 y-3 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um sistema de geradores para o subespaço . Ou seja, queremos encontrar vetores que, combinados, consigam gerar todos os vetores que satisfazem essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação define um plano no espaço tridimensional . Nosso objetivo é encontrar vetores que vivem nesse plano e que sejam suficientes para gerar qualquer ponto nele.

Passo 3

Para simplificar, podemos escolher duas das variáveis e como parâmetros livres. Vamos deixar e livres, e então expressar em termos de e .

Passo 4

A equação fica: (x, y, z) = (-2y + 3z, y, z) . Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:

Passo 5

Agora, vamos separar os termos que dependem de (x, y, z) = y cdot (-2, 1, 0) + z cdot (3, 0, 1) e de :
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .

Passo 6

Portanto, os vetores e são geradores de . Isso significa que eles formam um sistema de geradores para o subespaço dado.

Resposta

Um sistema de geradores para é formado pelos vetores e .

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