Apresente um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um sistema de geradores para o subespaço
. Ou seja, queremos encontrar vetores que, combinados, consigam gerar todos os vetores que satisfazem essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação
define um plano no espaço tridimensional
. Nosso objetivo é encontrar vetores que vivem nesse plano e que sejam suficientes para gerar qualquer ponto nele.
Passo 3
Para simplificar, podemos escolher duas das variáveis
e
como parâmetros livres. Vamos deixar
e
livres, e então expressar
em termos de
e
.
Passo 4
A equação fica:
. Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Passo 5
Agora, vamos separar os termos que dependem de
e de
:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 6
Portanto, os vetores
e
são geradores de
. Isso significa que eles formam um sistema de geradores para o subespaço dado.
Resposta
Um sistema de geradores para
é formado pelos vetores
e
.
Exercícios relacionados
Mostre que um operador ortogonal no plano preserva a distância entre dois pontos.
Nos Exercícios 1-4, encontre equaçes vetoriais e paramétricas da reta contendo o ponto e paralela ao vetor. Ponto:
; vetor:
Dados os vetores
e
, determinar o vetor
- tal que
e
.
Dados os pontos
e
, determine o vetor
tal que