Dados os vetores e , determinar o vetor - tal que e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três vetores: , e . A gente precisa encontrar um vetor que, quando fizer o produto escalar com cada um desses vetores, dê os seguintes resultados:
Pra resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e resolver um sistema de equações lineares. Vamos precisar configurar as equações e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores e é calculado assim:
Então, vamos aplicar isso para cada uma das condições dadas.
Passo 3
Vamos chamar o vetor que queremos encontrar de . Agora, aplicando o produto escalar com cada vetor:
Com :
Ou seja:
Com :
Ou seja:
Com :
Ou seja:
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos da equação (2) tentar isolar uma variável.
Passo 5
Da equação (2):
Podemos resolver para :
Agora, substituímos na equação (1):
Simplificando:
Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( e ):
Vamos resolver a equação (3) para :
Substituindo da equação (6) na equação (5):
Agora que temos , substituímos na equação (6) para encontrar :
E finalmente, com , usamos a equação (4) para achar :