Dados os vetores e , determinar o vetor - tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores: , e . A gente precisa encontrar um vetor que, quando fizer o produto escalar com cada um desses vetores, dê os seguintes resultados:
Pra resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e resolver um sistema de equações lineares. Vamos precisar configurar as equações e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores e é calculado assim:
Então, vamos aplicar isso para cada uma das condições dadas.

Passo 3

Vamos chamar o vetor que queremos encontrar de . Agora, aplicando o produto escalar com cada vetor:
  1. Com :
Ou seja:
çã
  1. Com :
Ou seja:
çã
  1. Com :
Ou seja:
çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos da equação (2) tentar isolar uma variável.

Passo 5

Da equação (2):
Podemos resolver para :
Agora, substituímos na equação (1):
Simplificando:
Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( e ):
Vamos resolver a equação (3) para :
Substituindo da equação (6) na equação (5):
Agora que temos , substituímos na equação (6) para encontrar :
E finalmente, com , usamos a equação (4) para achar :

Resposta

O vetor procurado é .

Exercícios relacionados

Apresente um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do :
Mostre que um operador ortogonal no plano preserva a distância entre dois pontos.
Dados os pontos e , determine o vetor tal que
Determine o vetor , colinear ao vetor tal que , sendo .