Dados os vetores u=(1,2,-3), v=(2,0,-1) e w=(3,1,0), determinar o vetor x - tal que x cdot u=-16, x cdot v=0 e x cdot w=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores: u = (1, 2, -3), v = (2, 0, -1) e w = (3, 1, 0). A gente precisa encontrar um vetor x que, quando fizer o produto escalar com cada um desses vetores, dê os seguintes resultados:
  • x cdot u = -16
  • x cdot v = 0
  • x cdot w = 3
Pra resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e resolver um sistema de equações lineares. Vamos precisar configurar as equações e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é calculado assim:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Então, vamos aplicar isso para cada uma das condições dadas.

Passo 3

Vamos chamar o vetor que queremos encontrar de x = (x1, x2, x3). Agora, aplicando o produto escalar com cada vetor:
  1. Com u:
x cdot u = 1 cdot x1 + 2 cdot x2 + (-3) cdot x3 = -16
Ou seja:
x1 + 2x2 - 3x3 = -16 (Equação 1) çã
  1. Com v:
x cdot v = 2 cdot x1 + 0 cdot x2 + (-1) cdot x3 = 0
Ou seja:
2x1 - x3 = 0 (Equação 2) çã
  1. Com w:
x cdot w = 3 cdot x1 + 1 cdot x2 + 0 cdot x3 = 3
Ou seja:
3x1 + x2 = 3 (Equação 3) çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
x1 + 2x2 - 3x3 = -16 (1) 2x1 - x3 = 0 (2) 3x1 + x2 = 3 (3)
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos da equação (2) tentar isolar uma variável.

Passo 5

Da equação (2):
2x1 - x3 = 0
Podemos resolver para x3:
x3 = 2x1 (4)
Agora, substituímos x3 na equação (1):
x1 + 2x2 - 3(2x1) = -16
Simplificando:
x1 + 2x2 - 6x1 = -16 -5x1 + 2x2 = -16 (5)
Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( x1 e x2):
-5x1 + 2x2 = -16 (5) 3x1 + x2 = 3 (3)
Vamos resolver a equação (3) para x2:
x2 = 3 - 3x1 (6)
Substituindo x2 da equação (6) na equação (5):
-5x1 + 2(3 - 3x1) = -16 -5x1 + 6 - 6x1 = -16 -11x1 + 6 = -16 -11x1 = -22 x1 = 2
Agora que temos x1 = 2, substituímos na equação (6) para encontrar x2:
x2 = 3 - 3(2) = 3 - 6 = -3
E finalmente, com x1 = 2, usamos a equação (4) para achar x3:
x3 = 2(2) = 4

Resposta

O vetor procurado é x = (2, -3, 4).

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