Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente tem três pontos no espaço: 2 x - AB = x + (BC cdot AB) AC , e . A gente precisa encontrar o vetor que satisfaz a equação:
Para isso, vamos usar conceitos de vetores como vetores diretores, subtração de vetores e produto escalar (o tal do “dot product”). Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os vetores AB = B - A = (-4 - (-1), 1 - 0, 1 - 2) = (-3, 1, -1) , BC = C - B = (0 - (-4), 1 - 1, 3 - 1) = (4, 0, 2) e AC = C - A = (0 - (-1), 1 - 0, 3 - 2) = (1, 1, 1) . Lembra que para achar o vetor que vai de um ponto a outro, a gente subtrai as coordenadas do ponto inicial das do ponto final.
Vetor :
Vetor :
Vetor :
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 e BC cdot AB = (4)(-3) + (0)(1) + (2)(-1) = -12 + 0 - 2 = -14 . O produto escalar (ou dot product) entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 4
Vamos substituir os valores que já sabemos na equação original para resolver 2 x - AB = x + (BC cdot AB) AC :
2 x - (-3, 1, -1) = x + (-14)(1, 1, 1)
Substituindo 2 x + (3, -1, 1) = x + (-14, -14, -14) , e :
Simplificando:
Passo 5
Vamos isolar 2 x - x + (3, -1, 1) = (-14, -14, -14) na equação. Primeiro, vamos subtrair x + (3, -1, 1) = (-14, -14, -14) de ambos os lados: