Mostre que um operador ortogonal no plano preserva a distância entre dois pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrarmos que um operador ortogonal no plano preserva a distância entre dois pontos. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente, envolvendo transformações lineares e operadores ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender o que é um operador ortogonal e como ele age sobre vetores no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador ortogonal. Em álgebra linear, um operador ortogonal é uma transformação linear representada por uma matriz que satisfaz a condição , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso significa que os vetores são preservados em comprimento e ângulo após a transformação.

Passo 3

Agora, considere dois pontos no plano, que podemos representar como vetores e . A distância entre esses dois pontos é dada pela norma do vetor diferença, ou seja, .

Passo 4

Vamos aplicar o operador ortogonal a ambos os vetores e . Após a transforma��ão, teremos e . Queremos mostrar que a distância entre e é a mesma que a distância entre e .

Passo 5

A distância entre | Au - Av | = | A(u - v) | e é dada por:
Isso porque é linear, então .

Passo 6

Sabemos que operadores ortogonais preservam a norma dos vetores. Portanto:
| A(u - v) | = | u - v |
Isso mostra que a distância entre os pontos e é a mesma após a aplicação do operador .

Resposta

Assim, demostramos que um operador ortogonal no plano preserva a distância entre dois pontos, já que a norma do vetor diferença permanece inalterada após a transformação.

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