Mostre que um operador ortogonal no plano preserva a distância entre dois pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrarmos que um operador ortogonal no plano preserva a distância entre dois pontos. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente, envolvendo transformações lineares e operadores ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender o que é um operador ortogonal e como ele age sobre vetores no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador ortogonal. Em álgebra linear, um operador ortogonal é uma transformação linear representada por uma matriz
que satisfaz a condição
, onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Isso significa que os vetores são preservados em comprimento e ângulo após a transformação.
Passo 3
Agora, considere dois pontos no plano, que podemos representar como vetores
e
. A distância entre esses dois pontos é dada pela norma do vetor diferença, ou seja,
.
Passo 4
Vamos aplicar o operador ortogonal
a ambos os vetores
e
. Após a transforma��ão, teremos
e
. Queremos mostrar que a distância entre
e
é a mesma que a distância entre
e
.
Passo 5
A distância entre
e
é dada por:
Isso porque
é linear, então
.
Passo 6
Sabemos que operadores ortogonais preservam a norma dos vetores. Portanto:
Isso mostra que a distância entre os pontos
e
é a mesma após a aplicação do operador
.
Resposta
Assim, demostramos que um operador ortogonal no plano preserva a distância entre dois pontos, já que a norma do vetor diferença permanece inalterada após a transformação.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios 1-4, encontre equaçes vetoriais e paramétricas da reta contendo o ponto e paralela ao vetor. Ponto:
; vetor:
Seja
o operador linear do
tal que
e
.
Determinar tal que
;
Determinar
Apresente um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do
:
Dados os vetores
e
, determinar o vetor
- tal que
e
.