Apresente todos os possíveis resultados na discussão de um sistema não-homogêneo de 6 equações lineares com 4 incógnitas.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um sistema não-homogêneo de 6 equações lineares com 4 incógnitas. Isso significa que temos mais equações do que variáveis. Para resolver e entender esse sistema, vamos precisar dos conceitos de sistemas lineares, homogêneos vs não-homogêneos, número de soluções possíveis, e posto da matriz. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema não-homogêneo. É um sistema da forma
, onde
não é o vetor zero. Ao contrário dos sistemas homogêneos, que sempre têm pelo menos a solução trivial (
), os sistemas não-homogêneos podem ter:
- Nenhuma solução.
- Uma única solução.
- Infinitas soluções.
Passo 3
Agora, vamos considerar que temos 6 equações e 4 incógnitas. Isso significa que a matriz dos coeficientes
é uma matriz
. O posto dessa matriz, que é o número máximo de colunas linearmente independentes, pode ser no máximo 4 (já que há 4 incógnitas).
Passo 4
Para determinar as possíveis soluções, precisamos comparar o posto da matriz dos coeficientes
com o posto da matriz aumentada
:
-
Se
: - Se
(número de incógnitas), então existe uma única solução. - Se
, existem infinitas soluções.
- Se
-
Se
: - O sistema não tem solução (é inconsistente).
Passo 5
Vamos resumir:
-
Nenhuma solução: Isso ocorre quando o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz dos coeficientes, ou seja,
. -
Única solução: Quando o posto da matriz dos coeficientes é igual ao número de incógnitas e igual ao posto da matriz aumentada,
. -
Infinitas soluções: Quando o posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada são iguais, mas menores que o número de incógnitas,
.
Resposta
Portanto, ao discutir um sistema não-homogêneo de 6 equações lineares com 4 incógnitas, os possíveis resultados são:
- Nenhuma solução (sistema inconsistente).
- Uma única solução.
- Infinitas soluções.