Encontre a relação entre a, b e c para que o sistema linear
x+2 y-3 z & =a 2 x+3 y+3 z & =b 5 x+9 y-6 z & =c
seja possível para quaisquer valores de a, b e c.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas ( x, y, z) e três equações. A pergunta quer que encontremos uma relação entre os valores a, b e c para que esse sistema tenha solução para quaisquer valores de a, b e c. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e condições de consistência.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
x + 2y - 3z &= a 2x + 3y + 3z &= b 5x + 9y - 6z &= c
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre a, b e c que garanta que sempre haja uma solução para esse sistema, independente dos valores de a, b e c.

Passo 3

Para investigar isso, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes ( a, b, c):
1 & 2 & -3 & | & a 2 & 3 & 3 & | & b 5 & 9 & -6 & | & c

Passo 4

Agora, vamos realizar operações de linhas para simplificar essa matriz e encontrar condições para que o sistema seja consistente. Primeiro, vamos manter a primeira linha como está e eliminar o x das outras duas linhas.
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
    R2 = R2 - 2R1 Rightarrow (2-2*1, 3-2*2, 3-2*(-3), b-2a) = (0, -1, 9, b-2a)
  • Subtraímos 5 vezes a primeira linha da terceira linha:
    R3 = R3 - 5R1 Rightarrow (5-5*1, 9-5*2, -6-5*(-3), c-5a) = (0, -1, 9, c-5a)
A matriz fica assim:
1 & 2 & -3 & | & a 0 & -1 & 9 & | & b-2a 0 & -1 & 9 & | & c-5a

Passo 5

Vamos agora eliminar o y da terceira linha. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - R2 Rightarrow (0-0, -1-(-1), 9-9, (c-5a)-(b-2a)) = (0, 0, 0, c - b -3a)
A matriz agora fica:
1 & 2 & -3 & | & a 0 & -1 & 9 & | & b-2a 0 & 0 & 0 & | & c - b -3a

Passo 6

Observamos que a última linha da matriz ficou:
0x + 0y + 0z = c - b -3a
Para que o sistema tenha solução, essa equação deve ser verdadeira. Como os termos à esquerda são todos zeros, a única maneira de não termos uma contradição é se o termo da direita também for zero. Portanto, precisamos que:
c - b - 3a = 0
Isso nos dá a relação necessária entre a, b e c.

Resposta

A relação necessária é .

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