Dados os pontos A=(1,1,1), B=(3,2,3), C=(-3,-2,1). Calcule a norma dos vetore A B C A C e 0 angulo entre cles?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três pontos no espaço: A = (1,1,1), B = (3,2,3) e C = (-3,-2,1). O que precisamos fazer é calcular a norma do produto vetorial de AB e AC, e também encontrar o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos precisar entender vetores, produto vetorial e como calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e AC. Isso significa que vamos subtrair as coordenadas dos pontos para obter os componentes desses vetores.
Para AB:
AB = B - A = (3-1, 2-1, 3-1) = (2, 1, 2)
Para AC:
AC = C - A = (-3-1, -2-1, 1-1) = (-4, -3, 0)

Passo 3

Agora que temos os vetores AB = (2, 1, 2) e AC = (-4, -3, 0), vamos calcular o produto vetorial AB × AC. O produto vetorial de dois vetores no espaço resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por AB e AC.
A fórmula do produto vetorial é:
AB times AC = i & j & k 2 & 1 & 2 -4 & -3 & 0
Calculando o determinante:
i(1 cdot 0 - 2 cdot (-3)) - j(2 cdot 0 - 2 cdot (-4)) + k(2 cdot (-3) - 1 cdot (-4))
= i(0 + 6) - j(0 + 8) + k(-6 + 4)
= 6i - 8j - 2k
AB times AC = (6, -8, -2)

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma (magnitude) desse vetor resultante. A norma de um vetor | V | = raizx^2 + y^2 + z^2 é dada por:
| AB times AC | = raiz6^2 + (-8)^2 + (-2)^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
= raiz36 + 64 + 4
= raiz104
approx 10,198

Passo 5

Por último, vamos encontrar o ângulo entre os vetores AB e AC. A fórmula para o ângulo cos(theta) = AB cdot AC| AB | cdot | AC | entre dois vetores é:
AB cdot AC = (2)(-4) + (1)(-3) + (2)(0) = -8 -3 + 0 = -11
Primeiro, calculamos o produto escalar:
| AB | = raiz2^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Agora, calculamos as normas de AB e AC:
| AC | = raiz(-4)^2 + (-3)^2 + 0^2 = raiz16 + 9 + 0 = raiz25 = 5
cos(theta) = -113 cdot 5 = -1115
Substituindo na fórmula:
theta = arccos(-1115)
Para encontrar o ângulo, usamos a função arco cosseno:
theta approx 137,38^circ

Resposta

A norma do produto vetorial é aproximadamente 10,198, e o ângulo entre os vetores AB e AC é de aproximadamente .

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