Apresente os traços de um plano ( sigma ) paralelo a uma reta (B)©, considerando que o ponto (A) pertence ao plano (sigma). Dados:
(A) [-1 ;-1 ;-1,5]
(B) [0,5 ;-3,5 ; 2] ; e
© [-4 ; 1 ; 0,5].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar os traços (ou interceptações) de um plano chamado sigma. Esse plano precisa ser paralelo a uma reta que passa pelos pontos B e C, e também deve contar com o ponto A. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o plano sigma é paralelo à reta que passa pelos pontos B e C. Para isso, precisamos encontrar o vetor diretor dessa reta. O vetor diretor é obtido subtraindo as coordenadas dos pontos B e C:
BC = C - B = [-4 - 0,5 ; 1 - (-3,5) ; 0,5 - 2] = [-4,5 ; 4,5 ; -1,5]
Então, o vetor diretor da reta BC é v = (-4,5, ;4,5,;-1,5).

Passo 3

Agora, para o plano sigma ser paralelo à reta BC, o vetor diretor v da reta deve estar contido no plano ou ser perpendicular ao vetor normal do plano. Vamos encontrar o vetor normal ao plano sigma.
Sabemos que o vetor normal n do plano pode ser encontrado usando vetores que estão no plano. Como o plano contém o ponto A, precisamos de pelo menos mais um vetor no plano. Porém, como só temos a reta BC sendo paralela, vamos assumir que v está no plano, então precisamos de outro vetor no plano.
Vamos escolher um vetor que vai do ponto A para o ponto B:
AB = B - A = [0,5 - (-1) ; -3,5 - (-1) ; 2 - (-1,5)] = [1,5 ; -2,5 ; 3,5]

Passo 4

Agora temos dois vetores no plano sigma: v = (-4,5, ;4,5,;-1,5) e AB = (1,5, ;-2,5, ;3,5). Para encontrar o vetor normal n do plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
n = v times AB = i & j & k -4,5 & 4,5 & -1,5 1,5 & -2,5 & 3,5
Calculando o determinante:
n = i(4,5 cdot 3,5 - (-1,5) cdot (-2,5)) - j(-4,5 cdot 3,5 - (-1,5) cdot 1,5) + k(-4,5 cdot (-2,5) - 4,5 cdot 1,5)
Simplificando:
n = i(15,75 - 3,75) - j(-15,75 - (-2,25)) + k(11,25 - 6,75) n = i(12) - j(-13,5) + k(4,5) n = (12, ;13,5, ;4,5)

Passo 5

Com o vetor normal n = (12,;13,5,;4,5), podemos escrever a equação geral do plano sigma usando o ponto A ( -1,;-1,;-1,5 ):
12(x + 1) + 13,5(y + 1) + 4,5(z + 1,5) = 0
Vamos expandir e simplificar essa equação:
12x + 12 + 13,5y + 13,5 + 4,5z + 6,75 = 0 12x + 13,5y + 4,5z + 32,25 = 0
Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar as casas decimais:
24x + 27y + 9z + 64,5 = 0 Dividindo por 3: 8x + 9y + 3z + 21,5 = 0
Então, a equação do plano sigma é:
8x + 9y + 3z = -21,5

Passo 6

Agora, vamos encontrar os traços do plano sigma, ou seja, os pontos onde o plano intercepta os eixos coordenados.
  • Traço no eixo x: Para encontrar, fazemos y = 0 e z = 0:
8x + 9(0) + 3(0) = -21,5 8x = -21,5 x = -21,58 = -2,6875
Então, o traço no eixo x é (-2,6875,;0,;0).
  • Traço no eixo y: Fixamos x = 0 e z = 0:
8(0) + 9y + 3(0) = -21,5 9y = -21,5 y = -21,59 approx -2,3889
Então, o traço no eixo y é (0,;-2,3889,;0).
  • Traço no eixo z: Fixamos x = 0 e y = 0:
8(0) + 9(0) + 3z = -21,5 3z = -21,5 z = -21,53 approx -7,1667
Então, o traço no eixo z é (0,;0,;-7,1667).

Resposta

Os traços do plano sigma são:
  • Eixo x: (-2,6875,;0,;0)
  • Eixo y: (0,;-2,3889,;0)
  • Eixo z: (0,;0,;-7,1667)

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