Represente por seus traços um plano ( ) definido pela reta fronto-horizontal ® que contém o ponto (M) do e pela fronto-horizontal (s) que contém o ponto do ( ). Considere:
(M)
(N) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para representarmos um plano (α) definido por duas retas fronto-horizontais: a reta ® que passa pelo ponto M e a reta (s) que passa pelo ponto N. As coordenadas dos pontos M e N têm alguns valores faltando. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Precisaremos encontrar as coordenadas faltantes dos pontos M e N, determinar as equações das retas ® e (s), e então encontrar a equação do plano (α) que as contém.

Passo 2

Primeiro, vamos completar as coordenadas dos pontos M e N. As coordenadas dadas são:
  • M: [3 ; -3 ; ?]
  • N: [-2 ; ? ; -1]
Como as retas são fronto-horizontais, isso geralmente significa que elas são paralelas ao plano frontal e horizontal, ou seja, têm direções específicas nos eixos. Normalmente, uma reta fronto-horizontal teria variação nas coordenadas x e y, mantendo uma coordenada constante.
Vamos supor que para a reta ® que contém o ponto M, a coordenada z seja constante. Como a reta é fronto-horizontal, é provável que z = 0 (nivelando com o plano horizontal). Assim, para o ponto M:
  • M: [3 ; -3 ; 0]
Para a reta (s) que contém o ponto N, supondo que a coordenada y seja constante, também alinhada com a horizontalidade. Vamos assumir y = 0:
  • N: [-2 ; 0 ; -1]

Passo 3

Agora que temos as coordenadas completas dos pontos M e N, vamos encontrar as equações das retas ® e (s).
Para a reta ® que passa por M [3 ; -3 ; 0] e é fronto-horizontal (com z constante), a equação paramétrica pode ser:
  • x = 3 + t
  • y = -3 + s
  • z = 0
Onde t e s são parâmetros que variam livremente.
Para a reta (s) que passa por N [-2 ; 0 ; -1] e também é fronto-horizontal, a equação paramétrica pode ser:
  • x = -2 + u
  • y = 0 + v
  • z = -1
Onde u e v são parâmetros que variam livremente.

Passo 4

Com as equações das retas ® e (s) em mãos, vamos encontrar a equação do plano (α) que as contém. Para isso, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal ao plano.
Primeiro, escolhemos o ponto M [3 ; -3 ; 0] como ponto no plano.
Em seguida, encontramos dois vetores que estão no plano. Podemos pegar os vetores diretores das retas ® e (s):
  • Vetor diretor da reta ®: v₁ = [1 ; 1 ; 0]
  • Vetor diretor da reta (s): v₂ = [1 ; 1 ; 0] (notamos que as direções são iguais, o que sugere que as retas ® e (s) são paralelas. Porém, para que exista um plano que as contenha, as retas devem ser coincidentes ou ter direções diferentes. Vamos revisar nossas suposições.)
Percebi que ambas as retas têm vetor diretor [1 ; 1 ; 0], o que indica que elas são paralelas e coplanares (estão no mesmo plano). Então, podemos usar esses vetores para encontrar o vetor normal ao plano através do produto vetorial:
n = v₁ × v₂ = [1 ; 1 ; 0] × [1 ; 1 ; 0] = [0 ; 0 ; 0]
Oops! O produto vetorial deu o vetor nulo, o que indica que os vetores são paralelos. Isso confirma que as retas são paralelas. Para definir o plano, precisamos de mais um vetor que não seja paralelo.
Vamos considerar o vetor que liga os pontos M e N:
v₃ = N - M = [-2 - 3 ; 0 - (-3) ; -1 - 0] = [-5 ; 3 ; -1]
Agora, vamos usar v₁ e v₃ para encontrar o vetor normal ao plano:
n = v₁ × v₃ = [1 ; 1 ; 0] × [-5 ; 3 ; -1] = (1*(-1) - 03, 0(-5) - 1*(-1), 13 - 1(-5)) = [-1 ; 1 ; 8]

Passo 5

Com o vetor normal n = [-1 ; 1 ; 8] e o ponto M [3 ; -3 ; 0], podemos escrever a equação do plano (α) usando a forma geral:
n₁(x - x₀) + n₂(y - y₀) + n₃(z - z₀) = 0
Substituindo os valores:
-1(x - 3) + 1(y + 3) + 8(z - 0) = 0
Simplificando:
-1x + 3 + y + 3 + 8z = 0
  • x + y + 8z + 6 = 0
Ou, reorganizando:
x - y - 8z = 6

Resposta

A equação do plano (α) é:

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(A)
(B) e
© .
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(T)
(M)
e
.
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(M)
(N)
§ .
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(A)
(B) e
© .