Construa, pelo ponto
de um plano qualquer
, uma reta de máxima inclinação, sabendo que o plano
contém o ponto
. Considere:
(T)
(M)
e
.
(T)
(M)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente construir uma reta de máxima inclinação partindo do ponto M num plano qualquer α. Sabemos que o plano α também passa pelo ponto T. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre planos e inclinação de retas. Vamos precisar entender como determinar a direção que dá a maior inclinação dentro do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos. O ponto T é a origem, ou seja, T(0, 0, 0), e o ponto M tem coordenadas M(-2, y, -2.5). A incógnita aqui é o valor de y, mas como estamos focando na inclinação da reta no plano, podemos seguir sem precisar desse valor específico.
Passo 3
A inclinação de uma reta em um plano está relacionada ao ângulo que ela forma com a horizontal. A reta de máxima inclinação será aquela que forma o maior ângulo possível com a horizontal dentro do plano α. Para encontrar essa reta, precisamos entender a orientação do plano.
Passo 4
Os ângulos dados α π = 30° e α π’ = -60° estão relacionados à inclinação do plano em relação aos eixos. Vamos considerar que esses ângulos definem a inclinação do plano nos eixos x e y, respectivamente. Com isso, podemos determinar a equação do plano α.
Passo 5
A equação geral de um plano é dada por:
Os coeficientes A, B, e C estão relacionados aos ângulos de inclinação. Usando os ângulos fornecidos, podemos calcular esses coeficientes para definir o plano α.
Passo 6
Depois de determinar a equação do plano, vamos precisar encontrar a direção da reta que, dentro desse plano, tem a maior inclinação. Isso envolve calcular o vetor normal ao plano e determinar a direção que maximiza o ângulo com a horizontal.
Passo 7
A reta de máxima inclinação será perpendicular à projeção do vetor normal do plano na horizontal. Isso garante que a reta forma o maior ângulo possível com a base horizontal dentro do plano.
Passo 8
Finalmente, com a direção da reta determinada, podemos usar o ponto M para escrever a equação paramétrica da reta de máxima inclinação no plano α.
Resposta
A reta de máxima inclinação no plano α que passa pelo ponto M(-2, y, -2.5) é dada por:
onde t é o parâmetro real.