Construa, pelo ponto (M) de um plano qualquer (alpha), uma reta de máxima inclinação, sabendo que o plano (alpha) contém o ponto (T). Considere:
(T) [0 ; 0 ; 0]
(M) [-2 ; ? ;-2,5]
alpha pi=30^circ ; e
alpha pi^prime=-60^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente construir uma reta de máxima inclinação partindo do ponto M num plano qualquer α. Sabemos que o plano α também passa pelo ponto T. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre planos e inclinação de retas. Vamos precisar entender como determinar a direção que dá a maior inclinação dentro do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos. O ponto T é a origem, ou seja, T(0, 0, 0), e o ponto M tem coordenadas M(-2, y, -2.5). A incógnita aqui é o valor de y, mas como estamos focando na inclinação da reta no plano, podemos seguir sem precisar desse valor específico.

Passo 3

A inclinação de uma reta em um plano está relacionada ao ângulo que ela forma com a horizontal. A reta de máxima inclinação será aquela que forma o maior ângulo possível com a horizontal dentro do plano α. Para encontrar essa reta, precisamos entender a orientação do plano.

Passo 4

Os ângulos dados α π = 30° e α π’ = -60° estão relacionados à inclinação do plano em relação aos eixos. Vamos considerar que esses ângulos definem a inclinação do plano nos eixos x e y, respectivamente. Com isso, podemos determinar a equação do plano α.

Passo 5

A equação geral de um plano é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
Os coeficientes A, B, e C estão relacionados aos ângulos de inclinação. Usando os ângulos fornecidos, podemos calcular esses coeficientes para definir o plano α.

Passo 6

Depois de determinar a equação do plano, vamos precisar encontrar a direção da reta que, dentro desse plano, tem a maior inclinação. Isso envolve calcular o vetor normal ao plano e determinar a direção que maximiza o ângulo com a horizontal.

Passo 7

A reta de máxima inclinação será perpendicular à projeção do vetor normal do plano na horizontal. Isso garante que a reta forma o maior ângulo possível com a base horizontal dentro do plano.

Passo 8

Finalmente, com a direção da reta determinada, podemos usar o ponto M para escrever a equação paramétrica da reta de máxima inclinação no plano α.

Resposta

A reta de máxima inclinação no plano α que passa pelo ponto M(-2, y, -2.5) é dada por:
r(t) = -2 y -2.5 + t cdot cos(60°) sin(60°) 1
onde t é o parâmetro real.

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