Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em um escoamento laminar, incompressível de camada-limite, é uma variação parabólica de u=0 na superfície (y=0) até a velocidade de corrente livre, U, na borda da camada-limite (y=de. A equação do perfil é u / U=2(y / de. Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é
vU=de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre escoamento laminar incompressível de camada-limite. A gente tem uma expressão para a componente da velocidade, , que varia de forma parabólica desde a superfície ( ) até a borda da camada-limite ( ). Nosso objetivo é encontrar a expressão mais simples para a componente da velocidade, .
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade para escoamento incompressível, que garante que a massa se conserve. Vamos seguir passo a passo para entender como chegar na expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da continuidade para um escoamento incompressível em duas dimensões:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Isso significa que a variação da velocidade em mais a variação da velocidade em deve somar zero.

Passo 3

Nós já temos a expressão para uU = 2(yde em termos de u = U [ 2(yde:
Vamos reescrever isolando-o:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de partial upartial x = U [ 2(1de em relação a , ou seja, . Observando a expressão de , vemos que e podem depender de , então usamos a regra da cadeia:
No entanto, para simplificar, assumimos que depende de e é a coordenada vertical. Na camada-limite, a variação principal é em , então podemos considerar como relacionada à espessura da camada-limite.

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação da continuidade:
partial vpartial y = -partial upartial x
Integrando ambos os lados em relação a v = -integral partial upartial x , dy + C(x) :
Onde é a constante de integração que pode depender de .

Passo 6

Vamos substituir partial upartial x = partialpartial x [ U ( 2yde na expressão da derivada:
partial upartial x = U ( 2yde
Assumindo que e são constantes em relação a , temos:
Onde .

Passo 7

Substituindo na equação de v = -integral [ U ( 2yde:
v = integral U ( 2yde
Simplificando os sinais:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
v = U cdot de
Calculando as integrais:
2 integral yde
integral ( yde
Então:
v = U cdot de

Passo 9

Fatorando v = U cdot de:
v = U cdot de
Simplificando os termos:

Passo 10

Agora, para determinar a constante de integração 0 = U cdot de, consideramos que na superfície v = U cdot de, a velocidade . Substituindo:
Então, a expressão final para é:

Passo 11

Queremos expressar de em termos de vU = 12x de. Sabemos que vU = de e, na camada-limite, é comum usar a relação . Para simplificar, assumimos que , então:
Substituindo na expressão de :
Multiplicando e rearranjando os termos:

Resposta

Portanto, a expressão mais simples para a componente vU = de da velocidade é

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