Uma aproximação útil para a componente
da velocidade em um escoamento laminar, incompressível de camada-limite, é uma variação parabólica de
na superfície
até a velocidade de corrente livre,
, na borda da camada-limite
. A equação do perfil é
. Mostre que a expressão mais simples para a componente
da velocidade é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre escoamento laminar incompressível de camada-limite. A gente tem uma expressão para a componente
da velocidade,
, que varia de forma parabólica desde a superfície (
) até a borda da camada-limite (
). Nosso objetivo é encontrar a expressão mais simples para a componente
da velocidade,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade para escoamento incompressível, que garante que a massa se conserve. Vamos seguir passo a passo para entender como chegar na expressão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da continuidade para um escoamento incompressível em duas dimensões:
Isso significa que a variação da velocidade em
mais a variação da velocidade em
deve somar zero.
Passo 3
Nós já temos a expressão para
em termos de
:
Vamos reescrever
isolando-o:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Observando a expressão de
, vemos que
e
podem depender de
, então usamos a regra da cadeia:
No entanto, para simplificar, assumimos que
depende de
e
é a coordenada vertical. Na camada-limite, a variação principal é em
, então podemos considerar
como relacionada à espessura da camada-limite.
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação da continuidade:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração que pode depender de
.
Passo 6
Vamos substituir
na expressão da derivada:
Assumindo que
e
são constantes em relação a
, temos:
Onde
.
Passo 7
Substituindo na equação de
:
Simplificando os sinais:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 9
Fatorando
:
Simplificando os termos:
Passo 10
Agora, para determinar a constante de integração
, consideramos que na superfície
, a velocidade
. Substituindo:
Então, a expressão final para
é:
Passo 11
Queremos expressar
em termos de
. Sabemos que
e, na camada-limite, é comum usar a relação
. Para simplificar, assumimos que
, então:
Substituindo na expressão de
:
Multiplicando e rearranjando os termos:
Resposta
Portanto, a expressão mais simples para a componente
da velocidade é
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