Uma aproximação útil para a componente da velocidade em um escoamento laminar, incompressível de camada-limite, é uma variação parabólica de na superfície até a velocidade de corrente livre, , na borda da camada-limite . A equação do perfil é . Mostre que a expressão mais simples para a componente da velocidade é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre escoamento laminar incompressível de camada-limite. A gente tem uma expressão para a componente da velocidade, , que varia de forma parabólica desde a superfície ( ) até a borda da camada-limite ( ). Nosso objetivo é encontrar a expressão mais simples para a componente da velocidade, .
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade para escoamento incompressível, que garante que a massa se conserve. Vamos seguir passo a passo para entender como chegar na expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da continuidade para um escoamento incompressível em duas dimensões:
Isso significa que a variação da velocidade em mais a variação da velocidade em deve somar zero.

Passo 3

Nós já temos a expressão para em termos de :
Vamos reescrever isolando-o:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Observando a expressão de , vemos que e podem depender de , então usamos a regra da cadeia:
No entanto, para simplificar, assumimos que depende de e é a coordenada vertical. Na camada-limite, a variação principal é em , então podemos considerar como relacionada à espessura da camada-limite.

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação da continuidade:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração que pode depender de .

Passo 6

Vamos substituir na expressão da derivada:
Assumindo que e são constantes em relação a , temos:
Onde .

Passo 7

Substituindo na equação de :
Simplificando os sinais:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Então:

Passo 9

Fatorando :
Simplificando os termos:

Passo 10

Agora, para determinar a constante de integração , consideramos que na superfície , a velocidade . Substituindo:
Então, a expressão final para é:

Passo 11

Queremos expressar em termos de . Sabemos que e, na camada-limite, é comum usar a relação . Para simplificar, assumimos que , então:
Substituindo na expressão de :
Multiplicando e rearranjando os termos:

Resposta

Portanto, a expressão mais simples para a componente da velocidade é

Exercícios relacionados

Ar escoa num duto retangular de ferro galvanizado por com uma vazão de . Sabendo que o comprimento do duto é igual a 12 m, determine a perda de carga neste escoamento.
Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é e a meia-altura do canal é . Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal ( ).
Considere o campo de escoamento com a velocidade dada por , onde , e as coordenadas são medidas em pés. A massa especifica é 2 slug a gravidade age no sentido negativo do eixo . Determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto .
Considere o campo de escoamento representado pela função potencial . Verifique que o escoamento é incompressível e obtenha a função de corrente correspondente.