Considere o campo de escoamento com a velocidade dada por V=(A x-B y) t i-(A y+B x) j, onde A=2 ft^-1 cdot s^-1, B=1 ft^-1 cdot s^-1, e as coordenadas são medidas em pés. A massa especifica é 2 slug / tt^3 e a gravidade age no sentido negativo do eixo y. Determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto (x, y)=(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um campo de velocidade dado por , onde e . As coordenadas estão em pés, a massa específica é 2 slug/ft³, e a gravidade age na direção negativa do eixo . Precisamos determinar a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto . Vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente a equação de aceleração material e a equação de equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula fluida. A aceleração material em um fluxo é dada pela derivada total da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 3

Calculando a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
partial Vpartial t = partialpartial t [ (A x - B y) t i - (A y + B x) j ] = (A x - B y) i

Passo 4

Agora, vamos calcular o termo Vx = (A x - B y) t e Vy = -(A y + B x) . Primeiro, escrevemos a velocidade em componentes:
nabla = i partialpartial x + j partialpartial y
O operador nabla (V cdot nabla)V = Vx partial Vpartial x + Vy partial Vpartial y em coordenadas partial Vpartial x = ( A t ) i + (-B) j e partial Vpartial y = ( -B t ) i + (-A) j e (V cdot nabla)V = Vx (A t i - B j) + Vy (-B t i - A j) é:
(V cdot nabla)V = (A x - B y) t (A t i - B j) + (-(A y + B x)) (-B t i - A j)
Então,
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
Substituindo e :

Passo 5

Simplificando os termos:
(V cdot nabla)V = A t (A x - B y) t i - B (A x - B y) t j + B t (A y + B x) i + A (A y + B x) j
= A^2 x t^2 i - A B y t^2 i - B A x t j + B^2 y t j + B A y t i + B^2 x t i + A^2 y j + A B x j
Agrupando os termos semelhantes:
= (A^2 x t^2 - A B y t^2 + B A y t + B^2 x t) i + (-B A x t + B^2 y t + A^2 y + A B x) j

Passo 6

Agora, somamos os termos da aceleração:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V = (A x - B y) i + (A^2 x t^2 - A B y t^2 + B A y t + B^2 x t) i + (-B A x t + B^2 y t + A^2 y + A B x) j
Simplificando:
a = [ A x - B y + A^2 x t^2 - A B y t^2 + B A y t + B^2 x t ] i + [ -B A x t + B^2 y t + A^2 y + A B x ] j

Passo 7

Agora, substituímos os valores de a = [ 2(1) - 1(1) + 4(1)(1)^2 - 2(1)(1)(1)^2 + 2(1)(1)(1) + 1(1)(1) ] i + [ -2(1)(1)(1) + 1(1)(1) + 4(1) + 2(1)(1) ] j , a = [ 2 - 1 + 4 - 2 + 2 + 1 ] i + [ -2 + 1 + 4 + 2 ] j = (6) i + (5) j e a = 6 i + 5 j , ft/s^2 no ponto :
Calculando cada termo:
Então, a aceleração da partícula fluida no ponto é:

Passo 8

Agora, vamos determinar o gradiente de pressão no ponto rho a = -nabla P + rho g . Usaremos a equação de Navier-Stokes para um fluido incompressível e sem viscosidade:
nabla P = -rho a + rho g
Onde nabla P = -2 (6 i + 5 j) + 2 (-g j) = -12 i -10 j - 2g j e nabla P = -12 i -10 j - 64 j = -12 i -74 j , lb/ft^3 . Reorganizando para encontrar o gradiente de pressão:
Substituindo :
Assumindo :

Resposta

A aceleração da partícula fluida no ponto é e o gradiente de pressão nesse ponto é .

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