Considere o campo de escoamento com a velocidade dada por , onde , e as coordenadas são medidas em pés. A massa especifica é 2 slug a gravidade age no sentido negativo do eixo . Determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um campo de velocidade dado por , onde e . As coordenadas estão em pés, a massa específica é 2 slug/ft³, e a gravidade age na direção negativa do eixo . Precisamos determinar a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto . Vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente a equação de aceleração material e a equação de equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula fluida. A aceleração material em um fluxo é dada pela derivada total da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 3

Calculando a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:

Passo 4

Agora, vamos calcular o termo . Primeiro, escrevemos a velocidade em componentes:
O operador nabla em coordenadas e é:
Então,
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
Substituindo e :

Passo 5

Simplificando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, somamos os termos da aceleração:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos os valores de , e no ponto :
Calculando cada termo:
Então, a aceleração da partícula fluida no ponto é:

Passo 8

Agora, vamos determinar o gradiente de pressão no ponto . Usaremos a equação de Navier-Stokes para um fluido incompressível e sem viscosidade:
Onde e . Reorganizando para encontrar o gradiente de pressão:
Substituindo :
Assumindo :

Resposta

A aceleração da partícula fluida no ponto é e o gradiente de pressão nesse ponto é .

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