Considere o campo de escoamento com a velocidade dada por
, onde
, e as coordenadas são medidas em pés. A massa especifica é 2 slug
a gravidade age no sentido negativo do eixo
. Determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um campo de velocidade dado por
, onde
e
. As coordenadas estão em pés, a massa específica é 2 slug/ft³, e a gravidade age na direção negativa do eixo
. Precisamos determinar a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto
. Vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente a equação de aceleração material e a equação de equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula fluida. A aceleração material em um fluxo é dada pela derivada total da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 3
Calculando a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
Passo 4
Agora, vamos calcular o termo
. Primeiro, escrevemos a velocidade em componentes:
O operador nabla
em coordenadas
e
é:
Então,
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
Substituindo
e
:
Passo 5
Simplificando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, somamos os termos da aceleração:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos os valores de
,
e
no ponto
:
Calculando cada termo:
Então, a aceleração da partícula fluida no ponto
é:
Passo 8
Agora, vamos determinar o gradiente de pressão no ponto
. Usaremos a equação de Navier-Stokes para um fluido incompressível e sem viscosidade:
Onde
e
. Reorganizando para encontrar o gradiente de pressão:
Substituindo
:
Assumindo :
Resposta
A aceleração da partícula fluida no ponto
é
e o gradiente de pressão nesse ponto é
.