Considere o campo de escoamento representado pela função potencial
. Verifique que o escoamento é incompressível e obtenha a função de corrente correspondente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma função potencial do escoamento, que é dada por
. Nosso objetivo é verificar se esse escoamento é incompressível e, se for, encontrar a função de corrente correspondente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campos vetoriais, propriedades de escoamentos incompressíveis e a relação entre função potencial e função de corrente.
Passo 2
Para verificar se o escoamento é incompressível, precisamos calcular a divergência do campo de velocidade. Se a divergência for zero, o escoamento é incompressível. A função potencial
está relacionada ao campo de velocidade pelas derivadas parciais:
Passo 3
Vamos calcular as componentes do campo de velocidade:
Passo 4
Agora, calculamos a divergência do campo de velocidade, que é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Somando as derivadas:
Como a divergência é zero, concluímos que o escoamento é incompressível.
Passo 6
Para encontrar a função de corrente
, usamos a relação entre as componentes do campo de velocidade e a função de corrente:
Isso significa que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
. Agora, usamos a segunda equação:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos considerar zero.
Resposta
A função de corrente correspondente é
.