Considere o campo de escoamento representado pela função potencial . Verifique que o escoamento é incompressível e obtenha a função de corrente correspondente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma função potencial do escoamento, que é dada por . Nosso objetivo é verificar se esse escoamento é incompressível e, se for, encontrar a função de corrente correspondente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campos vetoriais, propriedades de escoamentos incompressíveis e a relação entre função potencial e função de corrente.

Passo 2

Para verificar se o escoamento é incompressível, precisamos calcular a divergência do campo de velocidade. Se a divergência for zero, o escoamento é incompressível. A função potencial está relacionada ao campo de velocidade pelas derivadas parciais:

Passo 3

Vamos calcular as componentes do campo de velocidade:

Passo 4

Agora, calculamos a divergência do campo de velocidade, que é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Somando as derivadas:
Como a divergência é zero, concluímos que o escoamento é incompressível.

Passo 6

Para encontrar a função de corrente , usamos a relação entre as componentes do campo de velocidade e a função de corrente:
Isso significa que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de . Agora, usamos a segunda equação:
Isso implica que , então é uma constante, que podemos considerar zero.

Resposta

A função de corrente correspondente é .

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