Considere o campo de escoamento representado pela função potencial phi=x^2-y^2. Verifique que o escoamento é incompressível e obtenha a função de corrente correspondente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma função potencial do escoamento, que é dada por phi = x^2 - y^2. Nosso objetivo é verificar se esse escoamento é incompressível e, se for, encontrar a função de corrente correspondente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campos vetoriais, propriedades de escoamentos incompressíveis e a relação entre função potencial e função de corrente.

Passo 2

Para verificar se o escoamento é incompressível, precisamos calcular a divergência do campo de velocidade. Se a divergência for zero, o escoamento é incompressível. A função potencial phi está relacionada ao campo de velocidade pelas derivadas parciais:
u = partial phipartial x, v = partial phipartial y

Passo 3

Vamos calcular as componentes do campo de velocidade:
u = partial phipartial x = partialpartial x(x^2 - y^2) = 2x
v = partial phipartial y = partialpartial y(x^2 - y^2) = -2y

Passo 4

Agora, calculamos a divergência do campo de velocidade, que é dada por:
nabla cdot v = partial upartial x + partial vpartial y
Substituindo os valores que encontramos:
partial upartial x = partialpartial x(2x) = 2
partial vpartial y = partialpartial y(-2y) = -2

Passo 5

Somando as derivadas:
nabla cdot v = 2 + (-2) = 0
Como a divergência é zero, concluímos que o escoamento é incompressível.

Passo 6

Para encontrar a função de corrente psi, usamos a relação entre as componentes do campo de velocidade e a função de corrente:
u = partial psipartial y, v = -partial psipartial x
Isso significa que:
partial psipartial y = 2x
Integrando em relação a y:
psi = 2x y + f(x)
Onde f(x) é uma função arbitrária de x. Agora, usamos a segunda equação:
v = -partial psipartial x = -(2y + dfdx) = -2y
Isso implica que dfdx = 0, então f(x) é uma constante, que podemos considerar zero.

Resposta

A função de corrente correspondente é psi = 2xy.

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