Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é -8 lbf / ft^2 / ft e a meia-altura do canal é h=0,06 in. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal ( mu=0,01 lbf cdot s / ft^2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos um óleo viscoso fluindo de forma constante (regime permanente) e suave (escoamento laminar) entre duas placas paralelas. O escoamento está completamente desenvolvido, ou seja, as características do fluxo não mudam ao longo do tempo ou da direção do fluxo. Precisamos determinar:
  1. A magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior.
  2. A vazão em volume através do canal.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecanica dos fluidos, especificamente sobre escoamento laminar entre placas paralelas e a relação entre tensão de cisalhamento, viscosidade e gradiente de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a tensão de cisalhamento ( tau = mu cdot dudy ) na superfície da placa superior. A tensão de cisalhamento em um fluido viscoso é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a viscosidade dinâmica do óleo.
  • é o gradiente de velocidade na direção perpendicular às placas.
Sabemos que o fluxo é laminar e completamente desenvolvido, então a velocidade do fluido varia linearmente entre as placas. O gradiente de pressão ( ) está relacionado com a taxa de deformação do fluxo.

Passo 3

Para encontrar dPdx = mu cdot d^2 udy^2 , usamos a equação de Navier-Stokes simplificada para escoamento laminar entre duas placas:
dudy = 1mu cdot dPdx cdot y + C1
Integrando uma vez em relação a dudy = 1mu cdot dPdx cdot y :
dudy|y=h = 1mu cdot dPdx cdot h
Como a velocidade no meio do canal é máxima e a derivada da velocidade nesse ponto é zero (simetria), podemos determinar que . Portanto:
Na superfície da placa superior, , então:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu cdot ( 1mu cdot dPdx cdot h ) = dPdx cdot h
Vamos calcular isso. Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam compatíveis.
Dados:
  • Gradiente de pressão: tau = (-8) cdot 0,005 = -0,04 , lbf/ft^2
  • Meia-altura do canal:
Substituindo:
O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento está agindo no sentido oposto ao gradiente de pressão, ou seja, para resistir ao fluxo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a vazão volumétrica ( Q = 2 h^33 mu cdot (-dPdx) ). A fórmula para vazão em escoamento laminar entre duas placas paralelas é:
h = 0,005 , ft, mu = 0,01 , lbf cdot s/ft^2, dPdx = -8 , lbf/ft^2/ft
Vamos substituir os valores:
Q = 2 cdot (0,005)^33 cdot 0,01 cdot 8 = 2 cdot 0,0001250,03 cdot 8 = 0,000250,03 cdot 8 approx 0,0667 cdot 8 approx 0,533 , ft^3/s
Substituindo na fórmula:

Resposta

A magnitude da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior é e ela atua no sentido contrário ao gradiente de pressão. A vazão em volume através do canal é aproximadamente .

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