Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é e a meia-altura do canal é . Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal ().
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos um óleo viscoso fluindo de forma constante (regime permanente) e suave (escoamento laminar) entre duas placas paralelas. O escoamento está completamente desenvolvido, ou seja, as características do fluxo não mudam ao longo do tempo ou da direção do fluxo. Precisamos determinar:
A magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior.
A vazão em volume através do canal.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecanica dos fluidos, especificamente sobre escoamento laminar entre placas paralelas e a relação entre tensão de cisalhamento, viscosidade e gradiente de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a tensão de cisalhamento () na superfície da placa superior. A tensão de cisalhamento em um fluido viscoso é dada pela fórmula:
Onde:
é a viscosidade dinâmica do óleo.
é o gradiente de velocidade na direção perpendicular às placas.
Sabemos que o fluxo é laminar e completamente desenvolvido, então a velocidade do fluido varia linearmente entre as placas. O gradiente de pressão () está relacionado com a taxa de deformação do fluxo.
Passo 3
Para encontrar , usamos a equação de Navier-Stokes simplificada para escoamento laminar entre duas placas:
Integrando uma vez em relação a :
Como a velocidade no meio do canal é máxima e a derivada da velocidade nesse ponto é zero (simetria), podemos determinar que . Portanto:
Na superfície da placa superior, , então:
Passo 4
Agora, substituímos na fórmula da tensão de cisalhamento:
Vamos calcular isso. Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam compatíveis.
Dados:
Gradiente de pressão:
Meia-altura do canal:
Substituindo:
O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento está agindo no sentido oposto ao gradiente de pressão, ou seja, para resistir ao fluxo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a vazão volumétrica (). A fórmula para vazão em escoamento laminar entre duas placas paralelas é:
Vamos substituir os valores:
Substituindo na fórmula:
Resposta
A magnitude da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior é e ela atua no sentido contrário ao gradiente de pressão. A vazão em volume através do canal é aproximadamente .