Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é e a meia-altura do canal é . Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal ( ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos um óleo viscoso fluindo de forma constante (regime permanente) e suave (escoamento laminar) entre duas placas paralelas. O escoamento está completamente desenvolvido, ou seja, as características do fluxo não mudam ao longo do tempo ou da direção do fluxo. Precisamos determinar:
  1. A magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior.
  2. A vazão em volume através do canal.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecanica dos fluidos, especificamente sobre escoamento laminar entre placas paralelas e a relação entre tensão de cisalhamento, viscosidade e gradiente de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a tensão de cisalhamento ( ) na superfície da placa superior. A tensão de cisalhamento em um fluido viscoso é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a viscosidade dinâmica do óleo.
  • é o gradiente de velocidade na direção perpendicular às placas.
Sabemos que o fluxo é laminar e completamente desenvolvido, então a velocidade do fluido varia linearmente entre as placas. O gradiente de pressão ( ) está relacionado com a taxa de deformação do fluxo.

Passo 3

Para encontrar , usamos a equação de Navier-Stokes simplificada para escoamento laminar entre duas placas:
Integrando uma vez em relação a :
Como a velocidade no meio do canal é máxima e a derivada da velocidade nesse ponto é zero (simetria), podemos determinar que . Portanto:
Na superfície da placa superior, , então:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da tensão de cisalhamento:
Vamos calcular isso. Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam compatíveis.
Dados:
  • Gradiente de pressão:
  • Meia-altura do canal:
Substituindo:
O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento está agindo no sentido oposto ao gradiente de pressão, ou seja, para resistir ao fluxo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a vazão volumétrica ( ). A fórmula para vazão em escoamento laminar entre duas placas paralelas é:
Vamos substituir os valores:
Substituindo na fórmula:

Resposta

A magnitude da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior é e ela atua no sentido contrário ao gradiente de pressão. A vazão em volume através do canal é aproximadamente .

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