Qual é a aproximação de e^x pela reta tangente perto de x = 0?

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede pra encontrar a aproximação de usando a reta tangente perto de . Isso faz parte do estudo de aproximações lineares e derivadas. A gente vai precisar calcular a derivada de e usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto onde a reta tangente vai tocar a curva quando . Isso significa que a gente precisa calcular .
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto.
A derivada de é:
Quando , a derivada fica:
Então, a inclinação da reta tangente em é 1.

Passo 4

Com a inclinação (derivada) e o ponto de tangência, podemos montar a equação da reta tangente usando a fórmula:
Onde:
  • é o valor da função no ponto (aqui, )
  • é a derivada no ponto
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A aproximação de pela reta tangente perto de é:

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