Qual é a aproximação de
pela reta tangente perto de
?
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede pra encontrar a aproximação de
usando a reta tangente perto de
. Isso faz parte do estudo de aproximações lineares e derivadas. A gente vai precisar calcular a derivada de
e usar a fórmula da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto onde a reta tangente vai tocar a curva
quando
. Isso significa que a gente precisa calcular
.
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto.
A derivada de
é:
Quando
, a derivada fica:
Então, a inclinação da reta tangente em
é 1.
Passo 4
Com a inclinação (derivada) e o ponto de tangência, podemos montar a equação da reta tangente usando a fórmula:
Onde:
-
é o valor da função no ponto (aqui, ) -
é a derivada no ponto
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A aproximação de
pela reta tangente perto de
é: