Uma função f: A -> R, A subseteq R^2, é chamada função homogênea de grau lambda quando
f(t x, t y) = t^lambda f(x, y)
para todo t > 0 e para todo (x, y) em A tal que (t x, t y) in A. Verifique se as funções seguintes são homogêneas. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
© f(x, y) = 5 * x^3 * y + x^4 + 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função é homogênea de algum grau . Função homogênea é aquela que, quando a gente multiplica as variáveis por um número , a função toda vira vezes a função original. Para isso, vamos usar a definição e ver se conseguimos encontrar esse .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa substituir por e por na função:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Vamos comparar isso com a definição de função homogênea, que diz que:
Para que as duas expressões sejam iguais para todo , os termos com devem ter os mesmos expoentes.

Passo 5

Observamos que nos termos com , temos multiplicando , mas o termo constante não é multiplicado por . Isso cria uma inconsistência, porque para a função ser homogênea, todos os termos deveriam ser multiplicados por .

Resposta

A função não é homogênea.

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