Uma função
, é chamada função homogênea de grau
quando
para todo
e para todo
tal que
. Verifique se as funções seguintes são homogêneas. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função
é homogênea de algum grau
. Função homogênea é aquela que, quando a gente multiplica as variáveis por um número
, a função toda vira
vezes a função original. Para isso, vamos usar a definição e ver se conseguimos encontrar esse
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa substituir
por
e
por
na função:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Vamos comparar isso com a definição de função homogênea, que diz que:
Para que as duas expressões sejam iguais para todo
, os termos com
devem ter os mesmos expoentes.
Passo 5
Observamos que nos termos com
, temos
multiplicando
, mas o termo constante
não é multiplicado por
. Isso cria uma inconsistência, porque para a função ser homogênea, todos os termos deveriam ser multiplicados por
.
Resposta
A função
não é homogênea.