Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais com expoente variável, então vamos usar a diferenciação logarítmica para facilitar. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para simplificar a derivada. Assim temos:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente (
), reescrevemos a equação:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
(regra da cadeia). Então:
Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que
. Aqui,
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é: