Calcule a derivada das seguintes funções:
z * y = (1 + x)^(e^(-x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com funções exponenciais com expoente variável, então vamos usar a diferenciação logarítmica para facilitar. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para simplificar a derivada. Assim temos:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente ( ), reescrevemos a equação:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é (regra da cadeia). Então:
Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que . Aqui, e .

Passo 5

Calculando as derivadas:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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