Esboce o gráfico das funções:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função
. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com superfícies no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender o formato dessa equação e como ela se comporta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Essa equação representa uma superfície no espaço tridimensional onde, para cada par de valores
e
, calculamos
adicionando 4 ao quadrado de
e ao quadrado de
.
Passo 3
Agora, vamos identificar que tipo de superfície é essa. A presença dos termos
e
com coeficientes positivos indica que estamos lidando com um paraboloide. Mais especificamente, como ambos os termos estão positivos e têm os mesmos coeficientes, é um paraboloide circular que se abre para cima.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vértice dessa parábola. O vértice ocorre quando
e
. Substituindo esses valores na equação, temos
. Então, o vértice está no ponto
.
Passo 5
Vamos também considerar o intercepto com o eixo
. Já vimos que quando
e
,
. Isso significa que a superfície intercepta o eixo
no ponto
.
Passo 6
Para entender como o gráfico se comporta à medida que nos afastamos do vértice, observe que à medida que
ou
aumentam ou diminuem,
também aumenta. Isso confirma que o paraboloide se abre para cima.
Resposta
Então, o gráfico da função
é um paraboloide circular com vértice no ponto
. Ele se abre para cima e é simétrico em relação aos eixos
,
e
. Ao esboçar, você desenharia uma parábola em cada plano vertical, todas se encontrando no ponto
e aumentando de forma uniforme à medida que você se move para fora desse ponto.