Esboce o gráfico das funções:
(e) z = 4 + x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função . Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com superfícies no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender o formato dessa equação e como ela se comporta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Essa equação representa uma superfície no espaço tridimensional onde, para cada par de valores e , calculamos adicionando 4 ao quadrado de e ao quadrado de .

Passo 3

Agora, vamos identificar que tipo de superfície é essa. A presença dos termos e com coeficientes positivos indica que estamos lidando com um paraboloide. Mais especificamente, como ambos os termos estão positivos e têm os mesmos coeficientes, é um paraboloide circular que se abre para cima.

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vértice dessa parábola. O vértice ocorre quando e . Substituindo esses valores na equação, temos . Então, o vértice está no ponto .

Passo 5

Vamos também considerar o intercepto com o eixo . Já vimos que quando e , . Isso significa que a superfície intercepta o eixo no ponto .

Passo 6

Para entender como o gráfico se comporta à medida que nos afastamos do vértice, observe que à medida que ou aumentam ou diminuem, também aumenta. Isso confirma que o paraboloide se abre para cima.

Resposta

Então, o gráfico da função é um paraboloide circular com vértice no ponto . Ele se abre para cima e é simétrico em relação aos eixos , e . Ao esboçar, você desenharia uma parábola em cada plano vertical, todas se encontrando no ponto e aumentando de forma uniforme à medida que você se move para fora desse ponto.

Exercícios relacionados