Aproximar a função
por uma parábola, usando os polinômios ortogonais de Legendre.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para aproximar a função
no intervalo
por uma parábola, utilizando os polinômios ortogonais de Legendre. Isso envolve usar conceitos de polinômios ortogonais e aproximação de funções, então vamos precisar entender um pouco sobre esses polinômios e como eles ajudam na aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os polinômios de Legendre. Eles são uma sequência de polinômios ortogonais no intervalo
com peso 1. Os primeiros três polinômios de Legendre são:
Esses polinômios são úteis para aproximar funções porque eles formam uma base ortogonal, o que simplifica os cálculos dos coeficientes na aproximação.
Passo 3
Para aproximar
por uma parábola usando os polinômios de Legendre, vamos considerar uma combinação linear dos polinômios até o segundo grau:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
,
e
.
Como os polinômios de Legendre são ortogonais, os coeficientes podem ser calculados usando o produto interno:
Onde o produto interno é definido como:
Passo 4
Vamos calcular cada coeficiente:
Para
:
Calculando as integrais:
Então:
Para
:
Calculando as integrais:
Então:
Para
:
Primeiro, simplificamos o numerador:
Calculando as integrais:
Então:
Convertendo para denominador comum:
Então:
Para o denominador de
:
Portanto:
Resposta
A aproximação da função
por uma parábola utilizando os polinômios ortogonais de Legendre é:
Substituindo os polinômios de Legendre:
Simplificando:
Combinando os termos constantes:
Portanto, a parábola que aproxima
é: