Aproximar a função f(x) = x^4 - 5x, x em [-1, 1] por uma parábola, usando os polinômios ortogonais de Legendre.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para aproximar a função no intervalo por uma parábola, utilizando os polinômios ortogonais de Legendre. Isso envolve usar conceitos de polinômios ortogonais e aproximação de funções, então vamos precisar entender um pouco sobre esses polinômios e como eles ajudam na aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os polinômios de Legendre. Eles são uma sequência de polinômios ortogonais no intervalo com peso 1. Os primeiros três polinômios de Legendre são:
Esses polinômios são úteis para aproximar funções porque eles formam uma base ortogonal, o que simplifica os cálculos dos coeficientes na aproximação.

Passo 3

Para aproximar por uma parábola usando os polinômios de Legendre, vamos considerar uma combinação linear dos polinômios até o segundo grau:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e .
Como os polinômios de Legendre são ortogonais, os coeficientes podem ser calculados usando o produto interno:
Onde o produto interno é definido como:

Passo 4

Vamos calcular cada coeficiente:
Para :
Calculando as integrais:
çãéí
Então:
Para :
Calculando as integrais:
çãí
Então:
Para :
Primeiro, simplificamos o numerador:
Calculando as integrais:
çãí
Então:
Convertendo para denominador comum:
Então:
Para o denominador de :
Portanto:

Resposta

A aproximação da função por uma parábola utilizando os polinômios ortogonais de Legendre é:
Substituindo os polinômios de Legendre:
Simplificando:
Combinando os termos constantes:
Portanto, a parábola que aproxima é:

Exercícios relacionados