Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função f(x) = x^3 + 4 no intervalo [-1, 1] por uma reta. Considere a base formada pelos polinômios ortonormais g0(x) = raiz(2) / 2 e g1(x) = (raiz(6)/2) * x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa aproximar a função por uma reta usando o método dos mínimos quadrados no intervalo . Para isso, vamos usar uma base de polinômios ortonormais que são e . Basicamente, vamos encontrar os melhores coeficientes para nossa reta que minimizam o erro de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta pode ser escrita como . Aqui, e são os coeficientes que a gente precisa encontrar. Como estamos usando uma base ortonormal, isso facilita bastante nosso trabalho para calcular esses coeficientes.

Passo 3

O método dos mínimos quadrados nos ajuda a encontrar os coeficientes e que melhor aproximam a função . Para isso, usamos o conceito de produto interno, que, no nosso caso, é definido como:
Como a base é ortonormal, os coeficientes são simplesmente os produtos internos de com cada um dos .

Passo 4

Vamos calcular :
Simplificando:
Calculando as integrais:
éçãí
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Calculando as integrais:
éçãí
Então:

Passo 6

Agora que temos e , vamos montar a reta de aproximação :
Simplificando:

Resposta

A reta que aproxima pelo método dos mínimos quadrados no intervalo é:

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