Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função
no intervalo
por uma reta. Considere a base formada pelos polinômios ortonormais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa aproximar a função
por uma reta usando o método dos mínimos quadrados no intervalo
. Para isso, vamos usar uma base de polinômios ortonormais que são
e
. Basicamente, vamos encontrar os melhores coeficientes para nossa reta que minimizam o erro de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta pode ser escrita como
. Aqui,
e
são os coeficientes que a gente precisa encontrar. Como estamos usando uma base ortonormal, isso facilita bastante nosso trabalho para calcular esses coeficientes.
Passo 3
O método dos mínimos quadrados nos ajuda a encontrar os coeficientes
e
que melhor aproximam a função
. Para isso, usamos o conceito de produto interno, que, no nosso caso, é definido como:
Como a base é ortonormal, os coeficientes são simplesmente os produtos internos de
com cada um dos
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Simplificando:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Simplificando:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos montar a reta de aproximação
:
Simplificando:
Resposta
A reta que aproxima
pelo método dos mínimos quadrados no intervalo
é: