Aproxime a tabela abaixo por uma função do tipo
usando o método dos mínimos quadrados.
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0 | 0.5 | 1.0 | 2.5 | 3.0 |
---|---|---|---|---|---|
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2.0 | 2.6 | 3.7 | 13.2 | 21.0 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para aproximar a tabela fornecida por uma função do tipo
usando o método dos mínimos quadrados. Isso está relacionado ao conteúdo de Ajuste de Curvas na matemática, especificamente usando regressão não linear. Para resolver, vamos precisar aplicar o método dos mínimos quadrados e fazer algumas manipulações matemáticas para ajustar os parâmetros
e
da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ajustar a função
aos dados da tabela. Queremos encontrar os valores de
e
que fazem com que a função passe o mais próximo possível dos pontos dados, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função.
Passo 3
Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos transformar a equação para que fique linear em relação aos parâmetros que queremos encontrar. Vamos começar isolando o termo exponencial:
Agora, aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para linearizar a equação:
Vamos chamar
,
. Assim, a equação fica:
Passo 4
Agora temos uma equação linear na forma
, onde podemos aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar os melhores valores de
e
. Depois de encontrar
, podemos obter
exponenciando
:
Passo 5
Vamos organizar os dados da tabela e calcular
para cada ponto:
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---|---|---|---|
0 | 2.0 | 1.0 | 0.0 |
0.5 | 2.6 | 1.6 |
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1.0 | 3.7 | 2.7 |
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2.5 | 13.2 | 12.2 |
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3.0 | 21.0 | 20.0 |
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Passo 6
Agora, vamos aplicar as fórmulas dos mínimos quadrados para uma regressão linear. As fórmulas para calcular
e
são:
Onde
é o número de pontos.
Passo 7
Vamos calcular os termos necessários:
Passo 8
Agora, substituindo nos cálculos de
e
:
Passo 9
Agora, recuperamos o valor de
a partir de
:
Passo 10
Então, os parâmetros ajustados são aproximadamente
e
. Portanto, a função que melhor aproxima os dados usando o método dos mínimos quadrados é:
Resposta
A função que melhor aproxima os dados pela tabela fornecida usando o método dos mínimos quadrados é: