Aproxime a tabela abaixo por uma função do tipo u(x) = 1 + a * e^(b * x) usando o método dos mínimos quadrados.
x 0 0.5 1.0 2.5 3.0
f(x) 2.0 2.6 3.7 13.2 21.0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para aproximar a tabela fornecida por uma função do tipo usando o método dos mínimos quadrados. Isso está relacionado ao conteúdo de Ajuste de Curvas na matemática, especificamente usando regressão não linear. Para resolver, vamos precisar aplicar o método dos mínimos quadrados e fazer algumas manipulações matemáticas para ajustar os parâmetros e da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ajustar a função aos dados da tabela. Queremos encontrar os valores de e que fazem com que a função passe o mais próximo possível dos pontos dados, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função.

Passo 3

Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos transformar a equação para que fique linear em relação aos parâmetros que queremos encontrar. Vamos começar isolando o termo exponencial:
Agora, aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para linearizar a equação:
Vamos chamar , . Assim, a equação fica:

Passo 4

Agora temos uma equação linear na forma , onde podemos aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar os melhores valores de e . Depois de encontrar , podemos obter exponenciando :

Passo 5

Vamos organizar os dados da tabela e calcular para cada ponto:
0 2.0 1.0 0.0
0.5 2.6 1.6
1.0 3.7 2.7
2.5 13.2 12.2
3.0 21.0 20.0

Passo 6

Agora, vamos aplicar as fórmulas dos mínimos quadrados para uma regressão linear. As fórmulas para calcular e são:
Onde é o número de pontos.

Passo 7

Vamos calcular os termos necessários:

Passo 8

Agora, substituindo nos cálculos de e :

Passo 9

Agora, recuperamos o valor de a partir de :

Passo 10

Então, os parâmetros ajustados são aproximadamente e . Portanto, a função que melhor aproxima os dados usando o método dos mínimos quadrados é:

Resposta

A função que melhor aproxima os dados pela tabela fornecida usando o método dos mínimos quadrados é:

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