Aproximar a função f(x) = x^4 - 5x, x em [-1, 1] por uma reta, usando os polinômios ortogonais de Legendre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para aproximar a função no intervalo usando uma reta, ou seja, uma função linear. Para isso, vamos utilizar os polinômios ortogonais de Legendre. Isso envolve conceitos de cálculo e álgebra linear, especialmente sobre aproximações de funções usando bases ortogonais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são os polinômios de Legendre. Eles são uma sequência de polinômios ortogonais no intervalo com relação ao peso 1, ou seja,:
Onde é o n-ésimo polinômio de Legendre.

Passo 3

Como queremos aproximar por uma reta, nossa aproximação será da forma:
Aqui, e . Esses são os primeiros dois polinômios de Legendre.

Passo 4

Para encontrar os coeficientes e , usamos a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre. Os coeficientes são dados por:
Vamos calcular e separadamente.

Passo 5

Calculando :
Vamos resolver a integral no numerador:
Então:

Passo 6

Calculando :
Resolvendo as integrais:
Então:

Resposta

A aproximação linear da fun��ão no intervalo usando polinômios ortogonais de Legendre é:

Exercícios relacionados