Aproximar a função
por uma reta, usando os polinômios ortogonais de Legendre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para aproximar a função
no intervalo
usando uma reta, ou seja, uma função linear. Para isso, vamos utilizar os polinômios ortogonais de Legendre. Isso envolve conceitos de cálculo e álgebra linear, especialmente sobre aproximações de funções usando bases ortogonais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são os polinômios de Legendre. Eles são uma sequência de polinômios ortogonais no intervalo
com relação ao peso 1, ou seja,:
Onde
é o n-ésimo polinômio de Legendre.
Passo 3
Como queremos aproximar
por uma reta, nossa aproximação será da forma:
Aqui,
e
. Esses são os primeiros dois polinômios de Legendre.
Passo 4
Para encontrar os coeficientes
e
, usamos a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre. Os coeficientes são dados por:
Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 5
Calculando
:
Vamos resolver a integral no numerador:
Então:
Passo 6
Calculando
:
Resolvendo as integrais:
Então:
Resposta
A aproximação linear da fun��ão
no intervalo
usando polinômios ortogonais de Legendre é: