Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{1}^{+\infty} \operatorname{sen}(\pi x) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa descobrir se a integral é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias, que envolvem limites quando o intervalo vai até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se, ao calcular o limite da integral quando o limite superior vai para infinito, a gente obtém um número finito. Se esse limite não existe ou é infinito, a integral é divergente.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral . Para fazer isso, precisamos encontrar a antiderivada de . Lembrando que a antiderivada de é , onde é uma constante.

Passo 4

Aplicando essa regra, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites da integral imprópria:
Simplificando:

Passo 6

Sabemos que , então:
Agora, analisamos o termo . Como oscila entre -1 e 1 para todo valor de , o limite desse termo não existe, pois ele continua oscilando indefinidamente.

Passo 7

Como o limite não existe devido à oscilação da função cosseno, concluímos que a integral não se aproxima de um número finito. Portanto, a integral é divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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