Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{1}^{+\infty} \operatorname{sen}(\pi x) d x
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa descobrir se a integral é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias, que envolvem limites quando o intervalo vai até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se, ao calcular o limite da integral quando o limite superior vai para infinito, a gente obtém um número finito. Se esse limite não existe ou é infinito, a integral é divergente.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral . Para fazer isso, precisamos encontrar a antiderivada de . Lembrando que a antiderivada de é
, onde
é uma constante.
Passo 4
Aplicando essa regra, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites da integral imprópria:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que
, então:
Agora, analisamos o termo
. Como
oscila entre -1 e 1 para todo valor de
, o limite desse termo não existe, pois ele continua oscilando indefinidamente.
Passo 7
Como o limite não existe devido à oscilação da função cosseno, concluímos que a integral não se aproxima de um número finito. Portanto, a integral é divergente.
Resposta
A integral é divergente.
Exercícios relacionados
Aproximar a função
por uma reta, usando os polinômios ortogonais de Legendre.
Seja
. Aproximar
por um polinômio do tipo
, usando o método dos mínimos quadrados.
Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{(x+2)(x+3)} d x
Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2^{x}} d x