Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{(x+2)(x+3)} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede pra gente verificar se ela é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o valor dela. Estamos trabalhando com integrais impróprias, que aparecem quando os limites de integração vão até o infinito ou a função tem algum ponto problemático. Aqui, a função é e o intervalo é de até . Vamos precisar usar frações parciais e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração usando frações parciais. Isso ajuda a quebrar a fração em partes que são mais fáceis de integrar.

Passo 3

Vamos supor que . Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para e . Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral original usando os valores de e :
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Integrando:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando tende a :
Como o resultado tende ao infinito, a integral é divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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