Deduza o sistema que determina os coeficientes que ajustam o polinômio cúbico
à função no intervalo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente deduzir um sistema de equações que determina os coeficientes de um polinômio cúbico:
Esse polinômio precisa “ajustar” a função no intervalo . Ou seja, queremos que seja o melhor polinômio cúbico que aproxima nesse intervalo. Para isso, vamos usar o conceito de minimização do erro quadrático, que envolve cálculo de integrais. Vamos precisar elaborar equações que relacionem os coeficientes do polinômio com a função .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos encontrar os coeficientes de forma que a diferença entre e seja a menor possível no sentido quadrático. Isso significa que queremos minimizar a integral do quadrado dessa diferença:
Passo 3
Para minimizar essa integral, vamos derivar em relação a cada coeficiente e igualar a zero. Isso nos dá as condições necessárias para o mínimo. Então, vamos calcular as derivadas parciais da integral em relação a cada e igualar a zero:
Passo 4
Vamos desenvolver essa derivada. Ao expandir o quadrado, temos:
Derivando em relação a :
onde é a função base correspondente a cada coeficiente (, , etc.).
Passo 5
Simplificando, obtemos:
Isso significa que a integral do produto de com cada função base deve ser igual à integral do produto de com a mesma função base.
Passo 6
Substituindo na equação, temos:
Para cada , isso nos dá uma equação linear envolvendo os coeficientes .
Passo 7
Vamos agora escrever essas equações para cada :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 8
Essas quatro equações formam um sistema linear que podemos escrever na forma matricial:
$$
$$
Resposta
O sistema que determina os coeficientes é dado pelas quatro equações acima, que podem ser resolvidas para encontrar os valores dos coeficientes que melhor ajustam o polinômio cúbico à função no intervalo .