Deduza o sistema que determina os coeficientes que ajustam o polinômio cúbico
p(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3
à função f(x) no intervalo [a, b].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente deduzir um sistema de equações que determina os coeficientes de um polinômio cúbico:
Esse polinômio precisa “ajustar” a função no intervalo . Ou seja, queremos que seja o melhor polinômio cúbico que aproxima nesse intervalo. Para isso, vamos usar o conceito de minimização do erro quadrático, que envolve cálculo de integrais. Vamos precisar elaborar equações que relacionem os coeficientes do polinômio com a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos encontrar os coeficientes de forma que a diferença entre e seja a menor possível no sentido quadrático. Isso significa que queremos minimizar a integral do quadrado dessa diferença:

Passo 3

Para minimizar essa integral, vamos derivar em relação a cada coeficiente e igualar a zero. Isso nos dá as condições necessárias para o mínimo. Então, vamos calcular as derivadas parciais da integral em relação a cada e igualar a zero:

Passo 4

Vamos desenvolver essa derivada. Ao expandir o quadrado, temos:
Derivando em relação a :
onde é a função base correspondente a cada coeficiente ( , , etc.).

Passo 5

Simplificando, obtemos:
Isso significa que a integral do produto de com cada função base deve ser igual à integral do produto de com a mesma função base.

Passo 6

Substituindo na equação, temos:
Para cada , isso nos dá uma equação linear envolvendo os coeficientes .

Passo 7

Vamos agora escrever essas equações para cada :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 8

Essas quatro equações formam um sistema linear que podemos escrever na forma matricial:

$$

$$

Resposta

O sistema que determina os coeficientes é dado pelas quatro equações acima, que podem ser resolvidas para encontrar os valores dos coeficientes que melhor ajustam o polinômio cúbico à função no intervalo .

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