Seja f(x) = x^4 - 5x, x em [-1, 1]. Aproximar f(x) por um polinômio do tipo u(x) = a0 + a1 x + a2 x^2, usando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

Fala aí! Então, a gente tem a função definida no intervalo de a . O objetivo aqui é aproximar essa função por um polinômio do tipo usando o método dos mínimos quadrados. Isso significa que vamos encontrar os coeficientes , e que fazem ficar o mais próximo possível de nesse intervalo, minimizando o erro quadrático.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Basicamente, ele busca ajustar um modelo (nesse caso, o polinômio ) de forma que a soma dos quadrados das diferenças entre e seja a menor possível. Matematicamente, queremos minimizar a integral:

Passo 3

Vamos expandir essa integral com :
Para minimizar essa expressão em relação a , e , derivamos em relação a cada coeficiente e igualamos a zero, obtendo um sistema de equações normais.

Passo 4

Vamos calcular as integrais necessárias para montar o sistema:
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar , e . Podemos usar métodos de álgebra linear, como substituição ou matrizes.
Resolvendo o sistema, encontramos:

Resposta

O polinômio aproximado é:

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