Seja . Aproximar por um polinômio do tipo , usando o método dos mínimos quadrados.
Passo 1
Fala aí! Então, a gente tem a função definida no intervalo de a . O objetivo aqui é aproximar essa função por um polinômio do tipo usando o método dos mínimos quadrados. Isso significa que vamos encontrar os coeficientes , e que fazem ficar o mais próximo possível de nesse intervalo, minimizando o erro quadrático.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Basicamente, ele busca ajustar um modelo (nesse caso, o polinômio ) de forma que a soma dos quadrados das diferenças entre e seja a menor possível. Matematicamente, queremos minimizar a integral:
Passo 3
Vamos expandir essa integral com :
Para minimizar essa expressão em relação a , e , derivamos em relação a cada coeficiente e igualamos a zero, obtendo um sistema de equações normais.
Passo 4
Vamos calcular as integrais necessárias para montar o sistema:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar , e . Podemos usar métodos de álgebra linear, como substituição ou matrizes.