Para aproximar uma função por uma função quadrática próxima a um número , é melhor escrever na forma
Mostre que a função quadrática que satisfaz as condições (i), (ii) e (iii) é

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aproximar uma função por uma função quadrática perto de um ponto . O conteúdo aqui é sobre aproximação de funções usando polinômios de Taylor. Vamos precisar entender como montar um polinômio quadrático que melhor aproxima próximo a .

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que uma função quadrática geral pode ser escrita como:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar para que aproxime bem perto de .

Passo 3

Para encontrar essas constantes, vamos usar as condições que a função quadrática deve satisfazer em . Essas condições são baseadas nos valores da função e das suas derivadas em :
  1. – a função quadrática deve passar pelo ponto .
  2. – a derivada da quadrática em deve ser igual à derivada de em .
  3. – a segunda derivada da quadrática em deve ser igual à segunda derivada de em .

Passo 4

Vamos aplicar a primeira condição: .
Substituindo na expressão de :
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda condição: .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituindo :
Portanto:

Passo 6

Por último, usamos a terceira condição: .
Calculamos a segunda derivada de :
Como a segunda derivada é constante, temos:
Daí:

Resposta

Assim, a função quadrática que aproxima perto de é:

Exercícios relacionados

Encontre a derivada das funçãos:
Encontre a derivada das funçãos:
Encontre a aproximação quadrática para próxima a . Faça os gráficos de da aproximação quadrática e da aproximação linear do Exemplo 2 da Seção 3.10 do livro na mesma tela. O que você conclui?
Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para próximo a , vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que e suas primeiras derivadas tenham os mesmos valores em que e suas primeiras derivadas. Derivando repetidamente e fazendo , mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde . O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau de centrado em .