Para aproximar uma função f por uma função quadrática P próxima a um número a, é melhor escrever P na forma
P(x) = A + B(x - a) + C(x - a)^{2}
Mostre que a função quadrática que satisfaz as condições (i), (ii) e (iii) é
P(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + (1/2) * f''(a) * (x - a)^(2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aproximar uma função por uma função quadrática perto de um ponto . O conteúdo aqui é sobre aproximação de funções usando polinômios de Taylor. Vamos precisar entender como montar um polinômio quadrático que melhor aproxima próximo a .

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que uma função quadrática geral pode ser escrita como:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar para que aproxime bem perto de .

Passo 3

Para encontrar essas constantes, vamos usar as condições que a função quadrática deve satisfazer em . Essas condições são baseadas nos valores da função e das suas derivadas em :
  1. – a função quadrática deve passar pelo ponto .
  2. – a derivada da quadrática em deve ser igual à derivada de em .
  3. – a segunda derivada da quadrática em deve ser igual à segunda derivada de em .

Passo 4

Vamos aplicar a primeira condição: .
Substituindo na expressão de :
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda condição: .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituindo :
Portanto:

Passo 6

Por último, usamos a terceira condição: .
Calculamos a segunda derivada de :
Como a segunda derivada é constante, temos:
Daí:

Resposta

Assim, a função quadrática que aproxima perto de é:

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