Para aproximar uma função
por uma função quadrática
próxima a um número
, é melhor escrever
na forma
Mostre que a função quadrática que satisfaz as condições (i), (ii) e (iii) é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aproximar uma função
por uma função quadrática
perto de um ponto
. O conteúdo aqui é sobre aproximação de funções usando polinômios de Taylor. Vamos precisar entender como montar um polinômio quadrático que melhor aproxima
próximo a
.
Passo 2
Primeiro, a gente sabe que uma função quadrática geral pode ser escrita como:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar para que
aproxime bem
perto de
.
Passo 3
Para encontrar essas constantes, vamos usar as condições que a função quadrática deve satisfazer em
. Essas condições são baseadas nos valores da função e das suas derivadas em
:
-
– a função quadrática deve passar pelo ponto . -
– a derivada da quadrática em deve ser igual à derivada de em . -
– a segunda derivada da quadrática em deve ser igual à segunda derivada de em .
Passo 4
Vamos aplicar a primeira condição:
.
Substituindo
na expressão de
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda condição:
.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Substituindo
:
Portanto:
Passo 6
Por último, usamos a terceira condição:
.
Calculamos a segunda derivada de
:
Como a segunda derivada é constante, temos:
Daí:
Resposta
Assim, a função quadrática que aproxima
perto de
é:
Exercícios relacionados
Encontre a derivada das funçãos:
Encontre a derivada das funçãos:
Encontre a aproximação quadrática para
próxima a
. Faça os gráficos de
da aproximação quadrática e da aproximação linear do Exemplo 2 da Seção 3.10 do livro na mesma tela. O que você conclui?
Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para
próximo a
, vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que
e suas primeiras
derivadas tenham os mesmos valores em
que
e suas primeiras
derivadas. Derivando repetidamente e fazendo
, mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde
. O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau
de
centrado em
.