Encontre a aproximação quadrática para
próxima a
. Faça os gráficos de
da aproximação quadrática e da aproximação linear do Exemplo 2 da Seção 3.10 do livro na mesma tela. O que você conclui?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a aproximação quadrática para a função
perto de
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente de aproximações polinomiais. Para isso, vamos precisar calcular a função em
, a primeira derivada e a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função
em
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
:
Calculando em
:
Então,
.
Passo 4
Vamos seguir para a segunda derivada de
:
Calculando em
:
Então,
.
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a aproximação quadrática usando a fórmula do polinômio de Taylor de grau 2:
Substituindo
,
,
e
:
Simplificando:
Passo 6
Além da aproximação quadrática, vamos lembrar da aproximação linear, que é o polinômio de grau 1:
Substituindo os valores:
Passo 7
Por fim, ao fazer os gráficos de
,
e
na mesma tela, você vai observar que a aproximação quadrática
segue a curva de
de forma mais precisa perto de
do que a aproximação linear
. Isso acontece porque a aproximação quadrática leva em conta a curvatura da função, enquanto a linear só considera a inclinação naquele ponto.
Resposta
A aproximação quadrática para
próximo de
é:
Comparando os gráficos, concluímos que a aproximação quadrática oferece uma representação mais precisa da função original perto de
do que a aproximação linear.
Exercícios relacionados
Para aproximar uma função
por uma função quadrática
próxima a um número
, é melhor escrever
na forma
Mostre que a função quadrática que satisfaz as condições (i), (ii) e (iii) é
Encontre a derivada das funçãos:
Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para
próximo a
, vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que
e suas primeiras
derivadas tenham os mesmos valores em
que
e suas primeiras
derivadas. Derivando repetidamente e fazendo
, mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde
. O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau
de
centrado em
.
Encontre o polinômio de Taylor de
grau, centrado em
para a função
. Faça os gráficos de
e suas aproximações de Taylor
na janela retangular
por
.