Encontre a aproximação quadrática para próxima a . Faça os gráficos de da aproximação quadrática e da aproximação linear do Exemplo 2 da Seção 3.10 do livro na mesma tela. O que você conclui?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a aproximação quadrática para a função perto de . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente de aproximações polinomiais. Para isso, vamos precisar calcular a função em , a primeira derivada e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função em :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de :
Calculando em :
Então, .

Passo 4

Vamos seguir para a segunda derivada de :
Calculando em :
Então, .

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a aproximação quadrática usando a fórmula do polinômio de Taylor de grau 2:
Substituindo , , e :
Simplificando:

Passo 6

Além da aproximação quadrática, vamos lembrar da aproximação linear, que é o polinômio de grau 1:
Substituindo os valores:

Passo 7

Por fim, ao fazer os gráficos de , e na mesma tela, você vai observar que a aproximação quadrática segue a curva de de forma mais precisa perto de do que a aproximação linear . Isso acontece porque a aproximação quadrática leva em conta a curvatura da função, enquanto a linear só considera a inclinação naquele ponto.

Resposta

A aproximação quadrática para próximo de é:
Comparando os gráficos, concluímos que a aproximação quadrática oferece uma representação mais precisa da função original perto de do que a aproximação linear.

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e em geral
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