Encontre a derivada das funçãos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando regras de derivação como a regra do quociente, da cadeia e do produto. Vamos precisar dessas ferramentas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisamos derivar. Temos um quociente, ou seja, uma função dividida por outra. A função
está na forma
, onde:
Para derivar essa expressão, vamos usar a Regra do Quociente, que nos diz que a derivada de
é:
Passo 3
Vamos começar derivando
. Aqui, temos uma função composta, então vamos aplicar a Regra da Cadeia. Seja:
-
- Então,
A derivada de
será:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, onde
. Aqui, usamos a Regra do Produto, pois
é o produto de duas funções:
A derivada de
será:
Calculando cada parte:
-
(usando a derivada de e a regra da cadeia) -
Então:
Passo 5
Voltando à derivada de
:
Agora, derivamos
:
Passo 6
Aplicando a Regra do Quociente, temos:
Substituindo
,
,
e
:
Resposta
Portanto, a derivada da função é:
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Para aproximar uma função
por uma função quadrática
próxima a um número
, é melhor escrever
na forma
Mostre que a função quadrática que satisfaz as condições (i), (ii) e (iii) é
Encontre a aproximação quadrática para
próxima a
. Faça os gráficos de
da aproximação quadrática e da aproximação linear do Exemplo 2 da Seção 3.10 do livro na mesma tela. O que você conclui?