Encontre a derivada das funçãos:
f(x) = (sen(3x) * x^2)^3 / cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando regras de derivação como a regra do quociente, da cadeia e do produto. Vamos precisar dessas ferramentas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisamos derivar. Temos um quociente, ou seja, uma função dividida por outra. A função está na forma , onde:
Para derivar essa expressão, vamos usar a Regra do Quociente, que nos diz que a derivada de é:

Passo 3

Vamos começar derivando . Aqui, temos uma função composta, então vamos aplicar a Regra da Cadeia. Seja:
  • Então,
A derivada de será:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar , onde . Aqui, usamos a Regra do Produto, pois é o produto de duas funções:
A derivada de será:
Calculando cada parte:
  • (usando a derivada de e a regra da cadeia)
Então:

Passo 5

Voltando à derivada de :
Agora, derivamos :

Passo 6

Aplicando a Regra do Quociente, temos:
Substituindo , , e :

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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