Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para próximo a , vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que e suas primeiras derivadas tenham os mesmos valores em que e suas primeiras derivadas. Derivando repetidamente e fazendo , mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde . O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau de centrado em .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer encontrar um polinômio de Taylor de grau para a função centrado em . Isso faz parte do conteúdo de polinômios de Taylor que é uma ferramenta poderosa pra aproximar funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de Taylor e como igualar suas derivadas com as da função original no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor de grau . Ele tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes de forma que o polinômio e suas primeiras derivadas coincidam com as da função no ponto .

Passo 3

Vamos começar encontrando . Para isso, vamos avaliar em :
Queremos que . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar para encontrar . A primeira derivada de é:
Avaliando em :
Queremos que . Então:

Passo 5

Vamos agora para a segunda derivada. Derivando novamente:
Avaliando em :
E queremos que . Portanto:

Passo 6

Vamos generalizar isso para uma derivada de ordem . A -ésima derivada de é:
Avaliando em :
Queremos que . Logo:

Resposta

Assim, os coeficientes do polinômio de Taylor são dados por:
E o polinômio de Taylor de grau centrado em é:

Exercícios relacionados

Encontre a aproximação quadrática para próxima a . Faça os gráficos de da aproximação quadrática e da aproximação linear do Exemplo 2 da Seção 3.10 do livro na mesma tela. O que você conclui?
Para aproximar uma função por uma função quadrática próxima a um número , é melhor escrever na forma
Mostre que a função quadrática que satisfaz as condições (i), (ii) e (iii) é
Encontre o polinômio de Taylor de grau, centrado em para a função . Faça os gráficos de e suas aproximações de Taylor na janela retangular por .

Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.