Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para
próximo a
, vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que
e suas primeiras
derivadas tenham os mesmos valores em
que
e suas primeiras
derivadas. Derivando repetidamente e fazendo
, mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde
. O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau
de
centrado em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer encontrar um polinômio de Taylor de grau
para a função
centrado em
. Isso faz parte do conteúdo de polinômios de Taylor que é uma ferramenta poderosa pra aproximar funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de Taylor e como igualar suas derivadas com as da função original no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor de grau
. Ele tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
de forma que o polinômio e suas primeiras
derivadas coincidam com as da função
no ponto
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Para isso, vamos avaliar
em
:
Queremos que
. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
para encontrar
. A primeira derivada de
é:
Avaliando em
:
Queremos que
. Então:
Passo 5
Vamos agora para a segunda derivada. Derivando
novamente:
Avaliando em
:
E queremos que
. Portanto:
Passo 6
Vamos generalizar isso para uma derivada de ordem
. A
-ésima derivada de
é:
Avaliando em
:
Queremos que
. Logo:
Resposta
Assim, os coeficientes do polinômio de Taylor são dados por:
E o polinômio de Taylor de grau
centrado em
é:
Exercícios relacionados
Encontre a aproximação quadrática para
próxima a
. Faça os gráficos de
da aproximação quadrática e da aproximação linear do Exemplo 2 da Seção 3.10 do livro na mesma tela. O que você conclui?
Para aproximar uma função
por uma função quadrática
próxima a um número
, é melhor escrever
na forma
Mostre que a função quadrática que satisfaz as condições (i), (ii) e (iii) é
Encontre o polinômio de Taylor de
grau, centrado em
para a função
. Faça os gráficos de
e suas aproximações de Taylor
na janela retangular
por
.
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.