Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para f(x) próximo a x = a, vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau n
T_n(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^{2}+c_3(x-a)^{3}+...+c_n(x-a)^{n}
tal que T_n e suas primeiras n derivadas tenham os mesmos valores em x = a que f e suas primeiras n derivadas. Derivando repetidamente e fazendo x = a, mostre que essas condições estão satisfeitas se
c0=f(a), c1=f'(a), c2=1/2 f''(a)
e em geral
c_k = f^(k)(a) / k!
onde k! = 1 * 2 * 3 * 4 * .... O polinômio resultante
T_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2!(x-a)^2 + ... + f^(n)(a)/n!(x-a)^n
é denominado polinômio de Taylor de grau n de f centrado em a.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer encontrar um polinômio de Taylor de grau n para a função f(x) centrado em . Isso faz parte do conteúdo de polinômios de Taylor que é uma ferramenta poderosa pra aproximar funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de Taylor e como igualar suas derivadas com as da função original no ponto a.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor de grau n. Ele tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes de forma que o polinômio e suas primeiras n derivadas coincidam com as da função f no ponto .

Passo 3

Vamos começar encontrando . Para isso, vamos avaliar em :
Queremos que . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar para encontrar . A primeira derivada de é:
Avaliando em :
Queremos que . Então:

Passo 5

Vamos agora para a segunda derivada. Derivando novamente:
Avaliando em :
E queremos que . Portanto:

Passo 6

Vamos generalizar isso para uma derivada de ordem k. A k-ésima derivada de é:
Avaliando em :
Queremos que . Logo:

Resposta

Assim, os coeficientes do polinômio de Taylor são dados por:
E o polinômio de Taylor de grau n centrado em a é:

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