Ao se aproximar a série sumk=1^infty 1k^4 pela sua soma parcial S30, estime o erro cometido varepsilon30=|R30|

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita sumk=1^infty 1k^4 e queremos aproximar essa soma usando a soma parcial S30, que é a soma dos primeiros 30 termos dessa série. Mas aí vem a pergunta: qual é o erro que a gente comete ao fazer essa aproximação? Esse erro é representado por varepsilon30=|R30|. Para resolver isso, vamos precisar entender como estimar o erro em uma série infinita usando a soma parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série infinita como essa, sumk=1^infty 1k^4, converge para um valor específico. Quando a gente soma apenas até um certo termo, nesse caso, o 30º termo, a gente está fazendo uma aproximação desse valor total. O erro dessa aproximação é justamente a diferença entre a soma infinita e a soma parcial, que é o que chamamos de varepsilon30.

Passo 3

Para estimar esse erro, podemos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta útil para determinar o erro ao aproximar séries por somas parciais. A ideia é relacionar a série com uma integral que nos dá uma ideia de quanto mais estamos somando além do ponto que paramos.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Integral na nossa série. A função que está somando é f(k) = 1k^4, que é uma função decrescente e positiva para k >= 1. Segundo o teste, o erro varepsilon30 é menor ou igual à integral de f(k) de k = 30 até k = infty.

Passo 5

Então, calculamos essa integral:
varepsilon30 <= integral30^infty 1k^4 , dk
Vamos resolver essa integral:
integral 1k^4 , dk = -13k^3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando os limites da integral:
varepsilon30 <= [ -13k^3 ]30^infty = 0 - ( -13 times 30^3 ) = 13 times 27000
varepsilon30 <= 181000

Resposta

O erro estimado ao aproximar a série sumk=1^infty 1k^4 pela soma parcial S30 é:
varepsilon30 <= 181000 approx 1.2345 times 10^-5

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