Ao se aproximar a série
pela sua soma parcial
, estime o erro cometido
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita
e queremos aproximar essa soma usando a soma parcial
, que é a soma dos primeiros 30 termos dessa série. Mas aí vem a pergunta: qual é o erro que a gente comete ao fazer essa aproximação? Esse erro é representado por
. Para resolver isso, vamos precisar entender como estimar o erro em uma série infinita usando a soma parcial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série infinita como essa,
, converge para um valor específico. Quando a gente soma apenas até um certo termo, nesse caso, o 30º termo, a gente está fazendo uma aproximação desse valor total. O erro dessa aproximação é justamente a diferença entre a soma infinita e a soma parcial, que é o que chamamos de
.
Passo 3
Para estimar esse erro, podemos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta útil para determinar o erro ao aproximar séries por somas parciais. A ideia é relacionar a série com uma integral que nos dá uma ideia de quanto mais estamos somando além do ponto que paramos.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Integral na nossa série. A função que está somando é
, que é uma função decrescente e positiva para
. Segundo o teste, o erro
é menor ou igual à integral de
de
até
.
Passo 5
Então, calculamos essa integral:
Vamos resolver essa integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando os limites da integral:
Resposta
O erro estimado ao aproximar a série
pela soma parcial
é:
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Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
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