Ao se aproximar a série pela sua soma parcial , estime o erro cometido

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita e queremos aproximar essa soma usando a soma parcial , que é a soma dos primeiros 30 termos dessa série. Mas aí vem a pergunta: qual é o erro que a gente comete ao fazer essa aproximação? Esse erro é representado por . Para resolver isso, vamos precisar entender como estimar o erro em uma série infinita usando a soma parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série infinita como essa, , converge para um valor específico. Quando a gente soma apenas até um certo termo, nesse caso, o 30º termo, a gente está fazendo uma aproximação desse valor total. O erro dessa aproximação é justamente a diferença entre a soma infinita e a soma parcial, que é o que chamamos de .

Passo 3

Para estimar esse erro, podemos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta útil para determinar o erro ao aproximar séries por somas parciais. A ideia é relacionar a série com uma integral que nos dá uma ideia de quanto mais estamos somando além do ponto que paramos.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Integral na nossa série. A função que está somando é , que é uma função decrescente e positiva para . Segundo o teste, o erro é menor ou igual à integral de de até .

Passo 5

Então, calculamos essa integral:
Vamos resolver essa integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando os limites da integral:

Resposta

O erro estimado ao aproximar a série pela soma parcial é:

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