Verifique se as séries convergem ou divergem.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre séries infinitas! O enunciado nos pede para verificar se a série
converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Séries, e para resolvermos, vamos precisar entender sobre testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para ver se conseguimos comparar com uma série que já conhecemos. A expressão
pode ser simplificada multiplicando o numerador e o denominador por
para racionalizar o denominador:
Mas essa simplificação não nos ajuda muito. Então, vamos tentar de outra forma.
Passo 3
Observando
, percebemos que para
grande, o termo
no denominador se torna menos significativo. Então, podemos aproximar a expressão por:
Então, para valores grandes de
, nossa série se comporta similarmente à série
, que conhecemos como a série harmônica.
Passo 4
Sabemos que a série harmônica
diverge, ou seja, seu somatório tende ao infinito. Agora, vamos usar o Teste da Comparação: se a série que estamos analisando é maior ou igual a uma série que diverge, então a nossa série também diverge.
Passo 5
Vamos comparar os termos:
Isso porque
para
. Assim, cada termo da nossa série é maior ou igual a
.
Passo 6
Como
também diverge (multiplicar por uma constante não altera a divergência), pelo Teste da Comparação, nossa série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge.