Beleza, vamos resolver essa questão sobre séries infinitas! O enunciado nos pede para verificar se a série converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Séries, e para resolvermos, vamos precisar entender sobre testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para ver se conseguimos comparar com uma série que já conhecemos. A expressão pode ser simplificada multiplicando o numerador e o denominador por para racionalizar o denominador:
Mas essa simplificação não nos ajuda muito. Então, vamos tentar de outra forma.
Passo 3
Observando , percebemos que para grande, o termo no denominador se torna menos significativo. Então, podemos aproximar a expressão por:
Então, para valores grandes de , nossa série se comporta similarmente à série , que conhecemos como a série harmônica.
Passo 4
Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, seu somatório tende ao infinito. Agora, vamos usar o Teste da Comparação: se a série que estamos analisando é maior ou igual a uma série que diverge, então a nossa série também diverge.
Passo 5
Vamos comparar os termos:
Isso porque para . Assim, cada termo da nossa série é maior ou igual a .
Passo 6
Como também diverge (multiplicar por uma constante não altera a divergência), pelo Teste da Comparação, nossa série original também diverge.