Verifique se as séries convergem ou divergem. ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre séries infinitas! O enunciado nos pede para verificar se a série converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Séries, e para resolvermos, vamos precisar entender sobre testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para ver se conseguimos comparar com uma série que já conhecemos. A expressão pode ser simplificada multiplicando o numerador e o denominador por para racionalizar o denominador:
Mas essa simplificação não nos ajuda muito. Então, vamos tentar de outra forma.

Passo 3

Observando , percebemos que para grande, o termo no denominador se torna menos significativo. Então, podemos aproximar a expressão por:
Então, para valores grandes de , nossa série se comporta similarmente à série , que conhecemos como a série harmônica.

Passo 4

Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, seu somatório tende ao infinito. Agora, vamos usar o Teste da Comparação: se a série que estamos analisando é maior ou igual a uma série que diverge, então a nossa série também diverge.

Passo 5

Vamos comparar os termos:
Isso porque para . Assim, cada termo da nossa série é maior ou igual a .

Passo 6

Como também diverge (multiplicar por uma constante não altera a divergência), pelo Teste da Comparação, nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Esboce o gráfico da função dada no intervalo .
.
Encontre a transformada de Laplace da função.
Verifique se as séries convergem ou divergem. ,
Ao se aproximar a série pela sua soma parcial , estime o erro cometido