Verifique se as séries convergem ou divergem. sumk=2^infty ln k^2k,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a série converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries infinitas e vamos precisar usar alguns testes de convergência para descobrir o comportamento dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Sabemos que ln k^2 = 2 ln k pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos:
sumk=2^infty 2 ln kk
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, precisamos decidir qual teste de convergência usar. Um bom candidato aqui é o Teste da Integral, que é útil quando temos termos que envolvem funções contínuas e positivas. Para aplicar esse teste, vamos considerar a função integral2^infty ln xx , dx e analisar a integral correspondente:

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Utilizando a substituição integralu=ln 2^u=infty u , du = u^22 |ln 2^infty , então . A integral se transforma em:

Passo 5

Calculando os limites da integral:
limu to infty u^22 - (ln 2)^22 = infty - constante = infty
Isso significa que a integral diverge.

Passo 6

Segundo o Teste da Integral, se a integral de uma função diverge, então a série também diverge. Portanto, como a integral de diverge, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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