Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. sumk=2^infty 1raizk-1,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste de Comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já conhece o comportamento, seja ela convergente ou divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a comparação. Observe que:
1raizk - 1 = 1raizk (1 - 1raizk) = 1raizk cdot 11 - 1raizk
À medida que aumenta, fica cada vez menor, então se aproxima de 1. Isso significa que para valores grandes de , se comporta de forma semelhante a .

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série . Sabemos que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , então a série diverge.

Passo 4

Como vimos que para todo , e a série de comparação diverge, o Teste de Comparação nos diz que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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