Verifique se as séries convergem ou divergem.
,
Passo 1
Vamos analisar a série
. O objetivo aqui é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que aprendemos em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise:
Podemos reescrever o denominador:
Então, a expressão fica:
À medida que
cresce,
tende a zero, então para valores grandes de
:
Isso mostra que os termos da série se comportam de forma semelhante a
para grandes
.
Passo 3
Agora, comparamos a série dada com uma série geométrica conhecida. A série geométrica
é uma série com razão
, que é menor que 1 (
). Sabemos que uma série geométrica converge se
.
Passo 4
Como
é uma série geométrica convergente e os termos da nossa série original são menores ou comparáveis a
para grandes
, podemos aplicar o Teste da Comparação. De acordo com esse teste, se uma série convergente tem termos maiores ou iguais aos termos da nossa série, então nossa série também converge.
Passo 5
Portanto, concluímos que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Verifique se as séries convergem ou divergem.
,
Esboce o gráfico da função dada no intervalo
.
.
Ao se aproximar a série
pela sua soma parcial
, estime o erro cometido
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
,