Verifique se as séries convergem ou divergem. sumk=0^infty e^ke^2 k+1,

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo aqui é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que aprendemos em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise:
e^ke^2k + 1
Podemos reescrever o denominador:
e^2k + 1 = e^2k (1 + 1e^2k)
Então, a expressão fica:
e^ke^2k (1 + 1e^2k) = 1e^k (1 + 1e^2k)
À medida que 1e^k (1 + 1e^2k) approx 1e^k cresce, tende a zero, então para valores grandes de :
Isso mostra que os termos da série se comportam de forma semelhante a para grandes .

Passo 3

Agora, comparamos a série dada com uma série geométrica conhecida. A série geométrica é uma série com razão , que é menor que 1 ( ). Sabemos que uma série geométrica converge se .

Passo 4

Como é uma série geométrica convergente e os termos da nossa série original são menores ou comparáveis a para grandes , podemos aplicar o Teste da Comparação. De acordo com esse teste, se uma série convergente tem termos maiores ou iguais aos termos da nossa série, então nossa série também converge.

Passo 5

Portanto, concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge.

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