(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .

Passo 1

Beleza, então a gente tem que aproximar a função por um polinômio de Taylor de grau 3, centrado em , para valores de entre 3 e 5. Basicamente, a gente vai usar a série de Taylor para encontrar uma expressão polinomial que fique bem próxima da função logarítmica nesse intervalo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de até a terceira ordem e avaliar elas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau para uma função em torno de :
Como queremos um polinômio de grau 3, vamos até a terceira derivada.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
  3. Terceira derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
  1. Valor da função em :
  2. Primeira derivada em :
  3. Segunda derivada em :
  4. Terceira derivada em :

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio de Taylor usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 3 para centrado em é:

Exercícios relacionados

(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .
Seja , tal que para todo . Considere os conjuntos
Mostre que não é verdade que .