(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que aproximar a função
por um polinômio de Taylor de grau 3, centrado em
, para valores de
entre 3 e 5. Basicamente, a gente vai usar a série de Taylor para encontrar uma expressão polinomial que fique bem próxima da função logarítmica nesse intervalo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de
até a terceira ordem e avaliar elas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
para uma função
em torno de
:
Como queremos um polinômio de grau 3, vamos até a terceira derivada.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
-
Valor da função em
: -
Primeira derivada em
: -
Segunda derivada em
: -
Terceira derivada em
:
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio de Taylor usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 3 para
centrado em
é:
Exercícios relacionados
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
Seja
, tal que
para todo
. Considere os conjuntos
Mostre que não é verdade que
.