(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .

Passo 1

Vamos lá! Nesse exercício, nosso objetivo é aproximar a função por um polinômio de Taylor de grau 3 no ponto . Isso significa que vamos usar a expansão de Taylor para construir um polinômio que se aproxime de próximo a . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de até a ordem 3 e avaliar essas derivadas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de grau para uma função em torno do ponto é dado por:
No nosso caso, , então precisamos das derivadas até a terceira ordem.

Passo 3

Vamos começar calculando , ou seja, :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada :
Então, avaliando em :

Passo 5

Vamos para a segunda derivada :
Avaliando em :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a terceira derivada :
Avaliando em :

Resposta

Com todas as derivadas calculadas, o polinômio de Taylor de grau 3 para no ponto é:

Exercícios relacionados

Seja , tal que para todo . Considere os conjuntos
Determine e .
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .