(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
Passo 1
Vamos lá! Nesse exercício, nosso objetivo é aproximar a função
por um polinômio de Taylor de grau 3 no ponto
. Isso significa que vamos usar a expansão de Taylor para construir um polinômio que se aproxime de
próximo a
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de
até a ordem 3 e avaliar essas derivadas no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de grau
para uma função
em torno do ponto
é dado por:
No nosso caso,
, então precisamos das derivadas até a terceira ordem.
Passo 3
Vamos começar calculando
, ou seja,
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada
:
Então, avaliando em
:
Passo 5
Vamos para a segunda derivada
:
Avaliando em
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a terceira derivada
:
Avaliando em
:
Resposta
Com todas as derivadas calculadas, o polinômio de Taylor de grau 3 para
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Seja
, tal que
para todo
. Considere os conjuntos
Determine
e
.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.