Seja f: R -> R, tal que f(x) = x^2 para todo x em R. Considere os conjuntos
E={x em R ; -1 <= x <= 0} e F={x em R ; 0 <= x <= 1}
Mostre que não é verdade que f(E-F) ⊆ f(E) - f(F).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por . Além disso, temos dois conjuntos:
O objetivo é mostrar que não é verdade que . Para isso, vamos precisar entender o que significa cada parte desses conjuntos e aplicar conceitos de imagem de conjuntos através de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse símbolo “-” representa a diferença de conjuntos, ou seja, todos os elementos que estão em mas não estão em . Como é o intervalo de -1 a 0 e é de 0 a 1, a interseção entre eles é apenas o ponto 0. Então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a função nesse conjunto . A função vai transformar cada número desse intervalo em seu quadrado. Então:
Como o quadrado de um número negativo é positivo, isso resulta em:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular e separadamente.
  • Para :
  • Para :
Portanto:
Ou seja, a diferença entre e é o conjunto vazio.

Passo 5

Agora, vamos verificar a inclusão . Sabemos que:
Como não está contido no conjunto vazio, a inclusão não é verdadeira.

Resposta

Não é verdade que , já que não está contido em .

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