Seja
, tal que
para todo
. Considere os conjuntos
Mostre que não é verdade que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por
. Além disso, temos dois conjuntos:
O objetivo é mostrar que não é verdade que
. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada parte desses conjuntos e aplicar conceitos de imagem de conjuntos através de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse símbolo “-” representa a diferença de conjuntos, ou seja, todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Como
é o intervalo de -1 a 0 e
é de 0 a 1, a interseção entre eles é apenas o ponto 0. Então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a função
nesse conjunto
. A função
vai transformar cada número desse intervalo em seu quadrado. Então:
Como o quadrado de um número negativo é positivo, isso resulta em:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
e
separadamente.
- Para
:
- Para
:
Portanto:
Ou seja, a diferença entre
e
é o conjunto vazio.
Passo 5
Agora, vamos verificar a inclusão
. Sabemos que:
Como
não está contido no conjunto vazio, a inclusão não é verdadeira.
Resposta
Não é verdade que
, já que
não está contido em
.
Exercícios relacionados
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
Seja a função
, tal que
para todo
. Mostre que a função
é bijetora.